Conway-Würfel

Stell dir vor: Du hast eine Schachtel mit vielen kleinen Holzklötzchen, und dein Ziel ist es, daraus einen möglichst perfekten Würfel zusammenzusetzen, ohne Lücken, ohne Überstände, ganz kompakt. Vielleicht kennst du solche Packrätsel: Wie legt man Dinge möglichst platzsparend in einen Karton? Oder wie stapelt man mit Bauklötzen?

In unserem Exponat siehst du genau so ein, nennen wir es „Holzwürfel-Puzzle“. Auf den Fotos erkennt man 29 helle Teile, die jeweils aus 4 kleinen Würfeln zusammengesetzt sind, sowie 3 dunklere Teile, die aus 3 kleinen Würfeln bestehen. Die Herausforderung lautet: Setze diese 32 Bausteine so zusammen, dass ein großer, „abgeschlossener“ Würfel entsteht, ohne offene Kanten, möglichst stabil und voller Raumfüllung.

Die Begleitbeschreibung sagt:

„Setze aus den kleinen Würfeln und den Quadern einen großen Würfel zusammen.

Tipp: Wo liegen die kleinen Würfel?“

Dieser Tipp klingt ganz unscheinbar, aber er weist auf eine klassische Idee in solchen Puzzles hin: Es geht oft darum, dass gerade die kleineren Teile (hier: die 3-Würfel-Bausteine) an besonderen Stellen platziert werden müssen, um „Lücken“ zu schließen, die sonst entstehen würden.

Bevor wir uns der konkreten Lösung nähern, lohnt es sich, einen Blick auf die mathematische Natur solcher Pack- und Zerlegungsprobleme zu werfen.

Und nun … die Mathematik

Mit „Conway“ ist der Mathematiker John Horton Conway gemeint, der unter anderem für viele originelle kombinatorische und räumliche Puzzles bekannt ist. In der Literatur taucht versteht man unter einem „Conway Puzzle“ ein Blockpackungsproblem: Man versucht, verschiedene Quaderstücke in einen größeren Würfel zu packen.

Konkret ist ein klassisches Conway-Puzzle dieser Art folgendermaßen formuliert:
Es stehen einem mehrere Quaderblöcke in verschiedenen Abmessungen zur Verfügung. Diese sollen zu einem großen Würfel zusammengesetzt werden. Diese Aufgabe kann mitunter sehr anspruchsvoll sein, weil die Blöcke unterschiedliche Formen und Orientierungen zulassen und schnell Lücken entstehen könnten, die nicht mehr gefüllt werden können. Die Schlüsselidee zur Lösung basiert auf Paritäts-Überlegungen und der Forderung, dass in jeder Schicht eines bestimmten Typs genau bestimmte kleine Stücke sein müssen.

In unserem Exponat sind genau $29 + 3 = 32$ Bausteine beteiligt — das entspricht insgesamt

$29 \cdot 4 + 3 \cdot 3 = 116 + 9 = 125$

kleinen Würfeleinheiten. Da $125 = 5^3$ , soll also aus den Teilen ein perfekter $5 \times 5 \times 5$ -Würfel entstehen.

Paritätsbetrachtungen und Platzierung der kleineren Stücke

Ein bewährtes Argument in solchen Puzzles ist, auf Schichten oder Schnitte zu schauen und zu analysieren, wie viele kleine Würfel (Einheitswürfel) in welchen Lagen überhaupt belegt werden können.

Im klassischen Conway-Puzzle etwa lautet eine zentrale Beobachtung:
Die drei Stücke $1 \times 1 \times 3$ (die „Langstäbchen“) müssen so platziert werden, dass in jeder Schicht genau eines dieser Stücke liegt.

Warum? Die anderen Quaderstücke (z. B. $1 \times 2 \times 4$ oder $2 \times 2 \times 2$ ) sind so dimensioniert, dass sie in einer Schicht immer eine gerade Anzahl an Würfeln belegen. Eine Schicht von $5 \times 5 = 25$ Würfeln enthält jedoch eine ungerade Zahl. Deshalb ist ein „ungerades“ Teil notwendig, das drei Würfel in dieser Schicht einnimmt und das sind genau die $1 \times 1 \times 3$ -Stücke. Damit ist klar: In jeder Schicht muss mindestens eines dieser Stücke liegen.

bertragen auf unser Exponat bedeutet dies: Die 3 dunkleren Teile (aus je 3 kleinen Würfeln) müssen so positioniert werden, dass sie durch die drei „Höhenlagen“ des $5 \times 5 \times 5$ -Würfels verlaufen und jede Schicht mit einer ungeraden Belegung „ergänzen“. Häufig werden diese Stücke entlang einer diagonalen Achse durch den Würfel gelegt, sodass keine Schicht leer bleibt.

Die 29 helleren 4-Würfel-Bausteine füllen die verbleibenden Zonen. Sie sind in Formen wie $1 \times 2 \times 2$ oder $1 \times 1 \times 4$ gestaltet, die so gedreht und gelegt werden können, dass sie die Lücken passgenau schließen.

Der Tipp „Wo liegen die kleinen Würfel?“ lenkt also den Blick auf die drei kritischen Teile: Ihre Platzierung bestimmt maßgeblich, wie der Rest passen kann.

In vielen dieser Puzzles ist die Lösung, abgesehen von Drehungen oder Spiegelungen, eindeutig. Wenn man die Anordnung der kleinen Stücke fixiert, ergibt sich oft zwangsläufig die Platzierung der anderen Teile. Für unser Exponat bedeutet das: Werden die drei dunklen Teile an einer falschen Stelle platziert, gerät man schnell in eine Sackgasse und kann den Würfel nicht mehr komplettieren.

Strategie beim Lösen:

Überlegen, wie die drei dunklen Teile über die Schichten verteilt werden können (z. B. eine versetzte Diagonale).
Diese grob platzieren.
Die verbleibenden Zonen mit den hellen Bausteinen füllen, darauf achten, dass keine zu kleinen Lücken entstehen, die keiner der restlichen Teile mehr füllen kann.

Wenn alle Teile erfolgreich untergebracht sind, entsteht ein lückenloser $5 \times 5 \times 5$ -Würfel und damit der gelungene Abschluss des Conway Würfels.

Quellen

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Conway_puzzle

[2] https://www.math.kit.edu/onlinelabor/seite/zum_basteln_und_bauen/media/conway.pdf