Die Kreisfläche

Wie die vorstehende Abbildung 1 zeigt, besteht das Experiment am Exponat „Die Kreisfläche“ darin, eine kreisförmige Feder mittels zweier (zunächst vertikal und parallel verlaufender) drehbarer Hebel so aufzubiegen, dass ihre Form in der Endstellung (siehe nachfolgende Abbildung 2) eine Strecke von Punkt $A$ nach Punkt $B$ darstellt.

Hierbei ist

$\lvert\overline{AB}\rvert=2\lvert\overline{AC}\rvert=2\lvert\overline{BC}\rvert=2\pi r$

die Länge des Umfanges des Kreises, den die Feder ursprünglich bildete. Darüber hinaus gilt: Der Flächeninhalt $F_\Delta$ des rechtwinkligen Dreieckes $\Delta$ mit den Eckpunkten $M$ , $B$ und $C$ (siehe Abbildung 1) ist gleich der halben Kreisfläche, d.h.

$F_\Delta=\frac{1}{2}\pi r^2.$

Damit kann der Flächeninhalt $\pi r^2$ eines Kreises mit dem Radius $r$ durch die Summe der Flächeninhalte zweier kongruenter Dreiecke dargestellt werden.

Und nun … die Mathematik dazu:

Werden die beiden Hebel jeweils um den Winkel $\varphi$ gegen die vertikale Achse gedreht, so ergibt sich auf der rechten Seite der Berührungspunkt $(x_0,y_0)$ zwischen dem rechten Hebelarm und dem aufgebogenen Kreis. Letzterer stellt sich nun als Kreisbogen mit dem Radius $r^\ast$ und dem Öffnungswinkel $\varphi^\ast$ (in Bogenmaß!) dar. Somit gilt

$\pi r=r^\ast\varphi^\ast\quad(1)$

und

$x_0^2+(r^\ast-y_0)^2=(r^\ast)^2\quad(2).$

Entsprechend obiger Abbildung 3 gilt für die Geraden $y_1$ und $y_2$ :

$y_1\colon y_1(x)=r+\tan(\pi/2-\varphi)x$

und

$y_2\colon y_2(x)=r^\ast+\tan(\pi/2+\varphi^\ast)x.$

Ihr Schnittpunkt $(x_0,y_0)$ ergibt sich dann als Lösung der Gleichung

$y_0\coloneqq y_1(x_0)=y_2(x_0)$

d.h.

$r+\tan(\pi/2-\varphi)x_0=r^\ast+\tan(\pi/2+\varphi^\ast)x_0$

und somit

$x_0(\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast))=r^\ast-r.$

Daraus resultiert entsprechend Gleichung (1):

$x_0=\frac{r^\ast-r}{\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast)}=r\frac{\pi/\varphi^\ast-1}{\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast)}$

und somit

$y_0=r+\tan(\pi/2-\varphi)x_0=r+\tan(\pi/2-\varphi)r\frac{\pi/\varphi^\ast-1}{\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast)}.$

Die Gleichungen (1) und (2) liefern dann

$x_0^2+(r^\ast-y_0)^2=(r^\ast)^2=\frac{\pi^2 r^2}{(\varphi^\ast)^2}$

und somit

$x_0^2+\left(\frac{\pi r}{\varphi^\ast}-y_0\right)^2=\frac{\pi^2 r^2}{(\varphi^\ast)^2},$

was nach Ausmultiplizieren und Kürzen auf

$x_0^2-\frac{2\pi r y_0}{\varphi^\ast}+y_0^2=0$

führt. Das heißt nun

$\begin{gather*} \left(r\frac{\pi/\varphi^\ast-1}{\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast)}\right)^2\\ -\frac{2\pi r}{\varphi^\ast}\left(r+\tan(\pi/2-\varphi)r\frac{\pi/\varphi^\ast-1}{\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast)}\right)\\+\left(r+\tan(\pi/2-\varphi)r\frac{\pi/\varphi^\ast-1}{\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast)}\right)^2=0.\end{gather*}$

Ohne Einschränkung kann folglich angenommen werden, dass $r=1$ ist, sodass man für einen gegebenen Öffnungswinkel $\varphi$ (im Bogenmaß) des rechten Hebels (siehe Abbildung 3) den Öffnungswinkel $\varphi^\ast$ des entsprechenden Kreisbogens (mit dem Radius $r^\ast$ ) als Lösung der folgenden Gleichung erhält:

$\begin{gather*} \left(\frac{\pi/\varphi^\ast-1}{\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast)}\right)^2\\ -\frac{2\pi}{\varphi^\ast}\left(1+\tan(\pi/2-\varphi)\frac{\pi/\varphi^\ast-1}{\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast)}\right)\\+\left(1+\tan(\pi/2-\varphi)\frac{\pi/\varphi^\ast-1}{\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast)}\right)^2=0.\end{gather*}$

Abschließend geben wir — numerisch als Näherungswerte ermittelt — für $\varphi_i=\frac{i}{10}(\pi/2+\varphi_0)=\frac{i}{10}(\pi/2+\arctan(1/\pi))$ ( $i=1,\ldots,10$ ) die entsprechenden Winkel $\varphi^\ast$ und die Radien $r^\ast$ an (mittels der vorstehenden Gleichung).

$i$	$\varphi_i$	$\varphi_i^\ast$	$\varphi_i^\ast$ (in Radian)	$r^\ast_i$	$x_0^i$	$y_0^i$
$1$	$0,1879$	$2,942$	$168,5$	$1,068$	$0,2148$	$2,1298$
$2$	$0,3760$	$2,716$	$155,6$	$1,157$	$0,4770$	$2,2089$
$3$	$0,5637$	$2,462$	$141,1$	$1,276$	$0,8015$	$2,2680$
$4$	$0,7516$	$2,179$	$124,8$	$1,442$	$1,1819$	$2,2647$
$5$	$0,9395$	$1,869$	$107,1$	$1,681$	$1,6070$	$2,1748$
$6$	$1,1274$	$1,534$	$87,9$	$2,048$	$2,0477$	$1,9726$
$7$	$1,3153$	$1,176$	$67,4$	$2,671$	$2,4656$	$1,6441$
$8$	$1,5031$	$0,800$	$45,8$	$3,927$	$2,8173$	$1,1908$
$9$	$1,6911$	$0,4071$	$23,3$	$7,717$	$3,0555$	$0,6307$
$10$	$1,8789$	$0$	$0$	$\infty$	$\pi$	$0$