Die Kreiszahl π

Am Experiment zur Kreiszahl $\pi$ („Pi“) im Erlebnisland Mathematik lässt sich feststellen, dass und an welcher Stelle der Ziffernfolge von $\pi$ sich das Geburtsdatum eines jeden beliebigen Besuchers wiederfindet.

Ist z.B. der 14. März 1941 das Geburtsdatum jenes Besuchers, so soll dieser die Ziffernfolge 140341 eingeben. Das Resultat ist „in Sekundenschnelle“ auf dem Bildschirm ablesbar: Diese Ziffernfolge erscheint in der Dezimalentwicklung von $\pi$ erstmalig an der 976.229-ten Stelle.

Und nun … die Mathematik dazu:

Die sogenannte Kreiszahl $\pi$ (auch Archimedes-Konstante oder Ludolphsche Zahl genannt) ist definiert als das Verhältnis $p/d$ des Umfangs $p$ und des Durchmessers $d$ eines beliebigen Kreises in der Ebene, d.h. ein Kreis mit einem Durchmesser von 1 hat einen Umfang von genau $\pi$ . Sie ist eine mathematische Konstante.

Die Bezeichnung der Kreiszahl mit dem kleinen griechischen Buchstaben $\pi$ („Pi“) lässt sich damit begründen, dass die beiden griechischen Wörter περιφερεια (periphereia — deutsch „Randbereich“) und περιμετρως (perimetros — deutsch „Umfang“) mit diesem Buchstaben beginnen.

Erste Verwendung der Notation $\pi$ findet sich bei dem Walisischen Mathematiker William Jones in der 1706 publizierten Schrift „Synopsis palmariorum matheseos“ (Überblick über die Hauptwerke der mathematischen Wissenschaft). Nachdem sein Schweizer Kollege Leonhard Euler 1737 diese Schreibweise übernommen hatte, wurde die Bezeichnung der Kreiszahl mit dem griechischen Kleinbuchstaben $\pi$ allgemein üblich.

Die Faszination für $\pi$ währt allerdings schon Jahrtausende: So erkannte der griechische Mathematiker Archimedes bereits um 250 v. Chr., dass der Quotient von Umfang und Durchmesser eines Kreises eine konstante Zahl ist, die seinen Berechnungen zufolge zwischen 3,1408450 und 3,1428450 liegen müsse.

Im Alten Testament (1. Buch der Könige 7,23) finden sich die Maße eines runden Wasserbeckens, das der israelitische König Salomo für den Tempel in Jerusalem bauen ließ: „Dann machte er das Meer. Es wurde aus Bronze gegossen und maß 10 Ellen von einem Rand zum anderen; es war völlig rund und 5 Ellen hoch. Eine Schnur von 30 Ellen konnte es rings umspannen.“ Für das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser ergibt sich somit der Wert 3. Genauer waren die Angaben ägyptischer Gelehrter: Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das Rechenbuch des Ahmes aus dem 17. Jahrhundert v. Chr., nennt den Wert $(16/9)^2\approx 3,1604$ .

In Babylon (im heutigen Irak) benutzte man wenig später als Näherung für $\pi$ den Wert 3+1/8=3,125.

Die indischen „Schnurregeln“ zur Konstruktion von Altären aus der Mitte des ersten Jahrtausends v. Chr. geben für die Kreisberechnung den Wert $(26/15)^2\approx 3,0044$ für $\pi$ an. Im 6. Jahrhundert n. Chr. bestimmte der indische Mathematiker Aryabhata den Wert bereits sehr genau auf 3,1416.

Lange Zeit konnte die Frage, ob $\pi$ eine rationale oder eine irrationale Zahl sei, nicht beantwortet werden. Erst in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts konnte der Mathematiker Johann Heinrich Lambert die Irrationalität von $\pi$ beweisen. Zuvor hatte der englische Mathematiker John Wallis im Jahr 1655 das nach ihm benannte Wallissche Produkt entdeckt:

$\frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdots.$

Gottfried Wilhelm Leibniz fand 1682 die folgende Reihendarstellung:

$\frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n}{2n+1}}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\pm\cdots.$

Eine erstaunliche Entdeckung gelang dem indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan im Jahre 1914:

$\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum_{n=0}^\infty{\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4\cdot 396^{4n}}}.$

Diese Reihe zeichnet sich durch ihre vergleichsweise schnelle Konvergenz aus.

Im Jahre 1996 entdeckten David Harold Bailey, Peter Borwein und Simon Plouffe eine neuartige Reihendarstellung (bald auch als BBP-Reihe bezeichnet) für $\pi$ :

$\pi=\sum_{n=0}^\infty{\frac{1}{16^n}\left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right)}.$

Später wurden weitere BBP-Reihen gefunden. Diese Formeln ermöglichen aufgrund ihrer günstigen Gestalt für das Hexadezimalsystem und ihrer guten Konvergenz (die allerdings schlechter als die Konvergenz der Formel von Ramanujan ist) einen sehr effizienten Algorithmus zur Berechnung der Nachkommastellen von $\pi$ , der heutzutage zum Standard bei vielen Anwendungen geworden ist (den sogenannten BBP-Algorithmus). Für

$\pi=3,1415926535897932384626433832795028841971693993751\ldots$

ergeben sich beispielsweise, wenn man die ersten fünzig Stellen der Partialsummen

$S_N=\sum_{n=0}^N{\frac{1}{16^n}\left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right)}$

für $N=76,77,78$ bestimmt, die Werte

$S_{76}=3,1415926535897932384626433832795028841971693993757,$

$S_{77}=3,1415926535897932384626433832795028841971693993750,$

$S_{78}=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751.$

Die Näherungswerte von $\pi$ und die Verfahren zu ihrer Bestimmung waren lange Zeit insbesondere für praktische Anwendungen, z.B. im Bauwesen, sehr wertvoll. Die in den letzten Jahrzehnten ermittelten Näherungswerte hingegen haben bereits so viele Stellen, dass ein praktischer Nutzen kaum noch gegeben ist. Dies zeigt sich etwa anhand der Fragestellung, wie viele Stellen von $\pi$ erforderlich sind, um den größten im Universum vorstellbaren realen Kreis mit der besten Genauigkeit zu berechnen. Nach neuesten kosmologischen Betrachtungen ergibt sich, dass das Licht des Urknalls in Form der Hintergrundstrahlung uns aus einer Entfernung erreicht, die sich als das Produkt des angenommenen Weltalters (etwa $1,3\cdot 10^{10}$ Jahre) mit der Lichtgeschwindigkeit (etwa $300.000\mathrm{km}/\mathrm s$ ) ergibt, also rund $1,3\cdot 10^{26}\mathrm m$ . Der Kreis mit diesem Radius hätte einen Umfang von $\pi\cdot 1,3\cdot 10^{26}\mathrm m$ , also etwa $8,17\cdot 10^{26}\mathrm m$ . Die kleinste physikalisch sinnvolle Längeneinheit ist die sogenannte Planck-Länge von etwa $10^{-35}\mathrm m$ . Der gedachte Kreisumfang bestände also aus $8,17\cdot 10^{61}$ Planck–Längen. Um seinen Umfang aus dem gegebenen und auf eine Planck-Länge genau bekannten Radius mit der Genauigkeit von wiederum einer Planck-Länge zu berechnen, würden also schon 62 Dezimalstellen von $\pi$ ausreichen.

Aber welche zahlentheoretischen Eigenschaften hat die Zahl $\pi$ nun? Dies wollen wir im Folgenden beleuchten: Der Wert von $\pi$ besitzt eine unendliche, nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung 3,14159265359…. Anders gesagt: $\pi$ ist (wie schon oben erwähnt) nicht rational, lässt sich also nicht als Bruch $m/n$ zweier ganzer Zahlen $m$ und $n$ schreiben (wobei $n\neq 0$ ). Man sagt daher $\pi$ ist irrational. Aber es gilt sogar noch mehr: Die Zahl $\pi$ erfüllt sogar keine polynomiale Gleichung $a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0=0$ mit ganzen Zahlen $a_0,\ldots,a_n\in\mathbb Z$ , $a_n\neq 0$ , $n>0$ . Damit kann sie insbesondere nicht rational sein, denn jede rationale Zahl $m/n$ ( $m,n\in\mathbb Z$ , $n\neq 0$ ) erfüllt die Gleichung $nx-m=0$ . Dies wurde erstmals durch den deutschen Mathematiker Carl Louis Ferdinand Lindemann nachgewiesen. Man nennt derartige Zahlen (und damit auch $\pi$ ) transzendent. Aus dieser Eigenschaft folgt nun, dass es unmöglich ist, die Zahl $\pi$ als einen Ausdruck darzustellen, der nur ganze Zahlen, Brüche und Wurzeln enthält.

Mit dieser Beobachtung hat der Satz von Lindemann die folgende berühmte Konsequenz: Es ist unmöglich, nur mit Zirkel und Lineal ein Quadrat zu konstruieren, das exakt den Flächeninhalt eines Kreises von gegebenem Radius $r$ (sagen wir $r=1$ ) hat. Die Seitenlänge eines solchen Quadrates müsste nämlich genau $\sqrt{\pi}$ sein und sich dann als Ausdruck, der nur ganze Zahlen, Brüche und Quadratwurzeln enthält darstellen lassen (denn dies sind genau die mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Zahlen). Das eben genannte (als unlösbar nachgewiesene) Problem wird auch als Quadratur des Kreises bezeichnet.

In der Ziffernfolge von $\pi$ hinter dem Komma ist keinerlei Regelmäßigkeit erkennbar; auch genügt sie statistischen Tests auf Zufälligkeit. Diese Beobachtungen begründen eine (zur Zeit noch unbeantwortete) Vermutung: Nämlich, dass $\pi$ eine sogenannte normale Zahl ist. Dies sind reelle Zahlen, in deren Nachkommastellen jede gegebene Ziffernfolge einer bestimmten Länge $\ell$ mit dergleichen asymptotischen Wahrscheinlichkeit $p$ auftritt (nämlich mit $p=10^{-\ell}$ ). Beispielsweise bedeutete dies, dass in den Nachkommastellen von $\pi$ die Ziffernfolgen 23 und 45 annährend in der gleichen Anzahl auftreten, betrachtet man nur genügend viele Stellen. Normale Zahlen enthalten weiterhin jede beliebige Ziffernfolge endlicher Länge in ihren Nachkommastellen. Wenn also die Vermutung „ $\pi$ ist eine normale Zahl“ zutrifft, ist also der Inhalt jedes bisher geschriebenen und auch in Zukunft entstehenden Buches in binärer Kodierung in der binären Darstellung von $\pi$ enthalten! Wesentlich einfacher ist hingegen die Aufgabe bei dem Exponat im Erlebnisland Mathematik: Die Vermutung, dass in der Dezimaldarstellung von $\pi$ jede sechsstellige Zahlenfolge auftritt, hat sich bisher stets bestätigt. Es sei an dieser Stelle zuletzt noch bemerkt, dass fast jede (in einem strengen mathematischen Sinne) zufällig gewählte reelle Zahl normal ist. In diesem Sinne verhalten sich normale Zahlen so, als seien sie zufällig gewählt.

Schließlich noch einige erwähnenswerte Nachrichten zur Kreiszahl π

An der 1.142.905.318.634-ten Nachkommastelle von $\pi$ findet man laut dem japanischen Mathematiker und Lehrstuhlinhaber für Informatik Yasumasa Kanada (*1948) erstmalig erneut die Ziffernfolge 314159265358. Bis 2009 hielt dieser den „Weltrekord“ bei der Bestimmung der Anzahl der Nachkommastellen von $\pi$ .
Freunde der Zahl $\pi$ gedenken zum einen am 14. März der Kreiszahl mit dem $\pi$ –Tag wegen der amerikanischen Datumsnotation 3-14. Zum anderen wird ein $\pi$ –Näherungstag am 22. Juli gefeiert, mit dem die Näherung 22/7 für $\pi$ von Archimedes geehrt werden soll.
In den „Sternstunden der modernen Mathematik“ von Keith Devlin (vgl. Literaturverzeichnis) findet sich ein weiteres Beispiel, in dem $\pi$ überraschenderweise eine Rolle spielt: Wenn man ein Streichholz auf ein Brett wirft, das durch parallele, jeweils eine Streichholzlänge voneinander entfernte Linien unterteilt ist, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Streichholz so fällt, dass es eine Linie schneidet, genau $2/\pi$ . Dabei handelt es sich um eine Variante des berühmten Paradoxons beim Buffon’schen Nadel-Experiment.
Den inoffiziellen Weltrekord im Auswendiglernen von $\pi$ hält der Japaner Akira Haraguchi, der am 4. Oktober 2006 in 16 Stunden 100.000 Nachkommastellen von $\pi$ „aus dem Kopf“ aufgesagt haben soll.

Literatur

[1] Behrends, E.: $\pi$ und Co. Kaleidoskop der Mathematik, Berlin / Heidelberg, 2008.

[2] Beutelspacher, A.: Mathematik zum Anfassen, Gießen, 2005.

[3] Delahaye, J.–P.: $\pi$ — Die Story, Basel, 1999.

[4] Devlin, K.–J.: Sternstunden der modernen Mathematik. Berühmte Probleme und neue Lösungen, 2. Auflage, München, 1992.

[5] Jones, W.: Synopsis palmariorum matheseos: or, A new introduction to mathematics containing the principles of arithmetic & geometry demonstrated, in a short and easy method; with their application to the most useful parts thereof … Design’d for the benefit, and adapted to the capacities of beginners, London, 1706.

[6] Schmidt, K.–H.: $\pi$ . Geschichte und Algorithmen einer Zahl, Norderstedt, 2001.

[7] Tietze, H.: Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik, München, 1990.

[8] Zschiegner, M.A.: Die Zahl $\pi$ — faszinierend normal! in: Mathematik lehren 98, S. 43–48, 2000.