Spiegelungen

Mit Spiegeln kann man interessante Dinge anstellen. Das kannst Du selbst an den Exponaten „Drehspiegel“, „Spiegeltrichter“ und „Kaleidoskopspiegel“ herausfinden. Spiegel faszinieren die Menschheit schon seit der Steinzeit. Doch welche Mathematik steckt dahinter?

Und nun … die Mathematik dazu:

Eine Spiegelung an einer Ebene besteht mathematisch gesehen einfach darin, dass man eine Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems invertiert. So wird zum Beispiel eine Spiegelung an der $xy$ -Ebene (zum Beispiel eine Wasseroberfläche) vollständig durch die Abbildung $s$ , die gegeben ist durch Gleichung

$s\Biggl(\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}\Biggr)=\begin{pmatrix} x\\ y\\ -z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix},$

beschrieben. Das Urbild (zum Beispiel der Himmel) wird dabei auf sein Spiegelbild abgebildet (der Himmel scheint auf einmal unter der Wasseroberfläche zu liegen). Was dabei auffällig ist, ist dass sich die Orientierung umkehrt: Hältst Du zum Biespiel Deine rechte Hand in den Spiegel, so hebt Dein Spiegelbild die linke Hand.

Was passiert aber nun, wenn wir die Spiegelebene $E$ im Raum verschieben und drehen? Sagen wir diese verlaufe durch den Punkt $\mathbf{p}$ und habe den Normalenvektor $\mathbf{n}$ . Wir wollen nun bestimmen, wie die zugehörige Spiegelung $s_{\mathbf{p},\mathbf{n}}$ einen beliebigen Punkt $\mathbf{x}$ abbildet. Dazu bilden wir zuerst das Lot von $\mathbf{x}$ auf $E$ (d.h. die Strecke, dessen einer Eckpunkt $\mathbf{x}$ ist und dessen anderer Eckpunkt in $E$ liegt und die senkrecht auf $E$ steht). Dieses hat genau die Länge $l=\langle\mathbf x-\mathbf p,\mathbf n\rangle$ , wobei $\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle$ das Skalarprodukt der Vektoren $\mathbf u$ und $\mathbf v$ bezeichnet. Dies ist nämlich genau die Projektion der Strecke $\overline{\mathbf x\mathbf p}$ auf den Normalenvektor $\mathbf n$ . Das Spiegelbild des Punktes $\mathbf x$ an der Ebene $E$ ist nun genau der nicht in $E$ liegende Eckpunkt des gespiegelten Lotes. Wir müssen also die Strecke $l$ zweimal in Richtung des Normalenvektors von $\mathbf x$ abziehen. Also ergibt sich die Gleichung

$s_{\mathbf p,\mathbf n}(\mathbf x)=\mathbf x-2\langle\mathbf x-\mathbf p,\mathbf n\rangle\mathbf n.$

Zum Exponat „Drehspiegel“

Nun widmen wir uns aber dem Exponat „Drehspiegel“. Den Fall, dass nur ein Spiegel vor Dir ist, kennst Du aus dem Alltag wahrscheinlich zur Genüge. Du siehst Dich in ihm einfach spiegelbildlich gegenüber stehen. Drehst Du den Spiegel, verändert sich daran auch überhaupt nichts, denn die Spiegelebene bleibt gleich.

Nun wollen wir aber von dem interessanteren Fall ausgehen, in dem zwei Spiegel(-ebenen) $E_1$ und $E_2$ vorliegen, die die Normalenvektoren $\mathbf n_1$ und $\mathbf n_2$ haben und sich im Punkte $\mathbf p$ schneiden. Was passiert nun, wenn Du in eine solche Konstruktion hineinschaust? Wir können dies einfach mit den obigen Überlegungen herleiten („ausrechnen“): Seien $s_1$ und $s_2$ die Spiegelungen an der Ebene $E_1$ bzw. $E_2$ . Wir erhalten

$\begin{gather*}s_1(s_2(\mathbf x))=s_1(\mathbf x-2\langle\mathbf x-\mathbf p,\mathbf n_2\rangle\mathbf n_2)=x-2\langle\mathbf x-\mathbf p,\mathbf n_2\rangle\mathbf n_2-2\langle x-2\langle\mathbf x-\mathbf p,\mathbf n_2\rangle\mathbf n_2-\mathbf p,\mathbf n_1\rangle\mathbf n_1\\=\mathbf x-2(\langle\mathbf x-\mathbf p,\mathbf n_1\rangle\mathbf n_1+\langle\mathbf x-\mathbf p,\mathbf n_2\rangle\mathbf n_2)+4\langle\mathbf x-\mathbf p,\mathbf n_2\rangle\langle\mathbf n_2,\mathbf n_1\rangle\mathbf n_1\quad(\ast).\end{gather*}$

Hierbei haben wir die Bilinearität des Skalarproduktes verwendet. An diesem Ausdruck lässt sich Einiges ablesen: Zum Beispiel ist er im Allgemeinen nicht symmetrisch in $\mathbf n_1$ und $\mathbf n_2$ , d.h. stimmt nicht mit dem doppelten Spiegelbild $s_2(s_1(\mathbf x))$ überein. Symmetrie (und damit die Gleichheit der beiden Ausdrücke) tritt genau dann ein, wenn der letzte Summand in der obigen Gleichung $(\ast)$ gleich null wird, also $\langle\mathbf n_1,\mathbf n_2\rangle=0$ , d.h. $E_1$ und $E_2$ stehen senkrecht aufeinander (Schnittwinkel $\alpha=90^\circ$ ). In diesem Falle ist es also egal in welchen von beiden Spiegeln Du hineinschaust — Du siehst keinen Bruch an der Schnittgeraden. Das kannst Du einmal selbst am Exponat überprüfen: Bei dem Drehspiegel, wo sich beide Spiegelebenen senkrecht treffen, findet kein „Bruch“ an der Schnittgerade statt. Bei dem anderen hingegen schon. Dies entspricht genau der vorstehenden Beobachtung.

Aber was passiert nun eigentlich an den zwei Spiegeln? Sei dazu $g=E_1\cap E_2$ die Schnittgerade der Spiegelebenen $E_1$ und $E_2$ . Wir schauen einmal von „oben“ auf die ganze Konstruktion, also entlang $g$ . Dazu drehen wir unser Koordinatensystem so, dass $E_1$ gerade zur $xz$ -Ebene und $g$ zur $z$ -Achse wird. Dann wird die Projektion von $E_2$ entlang der Geraden $g$ auf die $xy$ -Ebene genau zu einer Ursprungsgeraden, die die positive $x$ -Achse im Schnittwinkel $\alpha=\arccos(-\langle\mathbf n_1,\mathbf n_2\rangle)$ schneidet. In diesen neuen geeigneteren Koordinaten können wir nun leicht veranschaulichen, was mit einem Punkt $\mathbf x=(x,y,z)$ passiert. Unter $s_1$ wir dieser nämlich auf den Punkt $\mathbf x_1=s_1(\mathbf x)=(x,-y,z)$ abgebildet, welcher sodann unter $s_2$ auf den Punkt

$\mathbf x_2=s_2(\mathbf x_1)=\begin{pmatrix}\cos(2\alpha)x-\sin(2\alpha)y\\ \sin(2\alpha)x+\cos(2\alpha)y\\ z\end{pmatrix}$

geht.

Es handelt sich also schlicht um eine Drehung um den Winkel $2\alpha$ um die $z$ -Achse. Auf dieselbe Art und Weise lässt sich auch bestimmen, dass somit der Punkt $\mathbf x_2'=s_1(s_2(\mathbf x))$ einfach der Punkt $\mathbf x$ um $-2\alpha$ um die $z$ -Achse gedreht ist. Dadurch wird wiederum auch unsere obige Beobachtung bestätigt, dass die Abbildungen $s_1\circ s_2$ und $s_2\circ s_1$ genau für $\alpha=90^\circ=\pi/2$ gleich sind, denn dann sind beide schlicht einer Spiegelung an der Geraden $g$ gleich!

Dies erklärt nun sogar die Beobachtung, dass sich das Bild, das Du in den beiden Drehspiegeln mit zwei Spiegelebenen siehst, dreht, wenn Du die Konstruktion in Drehung versetzt. Denn die Schnittgerade $g$ dreht sich ja dann vor Dir und somit auch die Spiegelbilder mit.

Drei und mehr Spiegel

Wenn man nun noch einen Spiegel hinzunimmt, wird es noch kurioser: Nehmen wir einmal an, drei Spiegel mit den Spiegelebenen $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ stehen jeweils senkrecht aufeinander (bilden also die Koordinatenebenen $xy$ , $xz$ und $yz$ bis auf Drehung). Ähnliche Überlegungen wie oben, zeigen nun, dass der dreifach gespiegelte Punkt $\mathbf x$ dann in den Punkt $-\mathbf x$ überführt wird (unabhängig von der Reihenfolge der Spiegelungen). Wenn Du ein solches Koordinatenkreuz hineinschaust, siehst Du also wieder keinen Bruch an den Schnittgeraden. Es kommt sogar noch besser: Egal von welcher Richtung Du in diese Konstruktion hineinschaust, siehst Du immer Dein Gesicht, denn der Punkt $\mathbf x$ liegt ja dem dreifachen Spiegelbild $-\mathbf x$ immer genau gegenüber. Diese Technik wird auch in der Schifffahrt, zum Beispiel bei Brücken angewendet.

Spiegelungsgruppen

Wenn Du in zwei Spiegel wie im Exponat Drehspiegel schaust, ist Dir vielleicht aufgefallen, dass es von manchem Standpunkt aus so scheint, als ständen nicht nur zwei, sondern mehrere Spiegel in gleichem Winkel aufeinander. Wieviele Spiegel Du dabei siehst, hängt von dem Schnittwinkel $\alpha$ ab. Treffen beispielsweise die beiden Spiegel im Winkel von $90^\circ$ aufeinander, so kommt es Dir so vor, als ständen vier Spiegel gleichmäßig angeordnet um die Schnittgerade herum. Bei einem kleineren Schnittwinkel wird die Anzahl größer. Woher kommt nun diese seltsame Erscheinung?

Nun, oben haben wir gesehen, dass die Reihenfolge, in der die Spiegelungen stattfinden, wichtig ist. So ergibt das Hintereinanderausführen $s_1\circ s_2$ und $s_2\circ s_1$ jeweils ein anderes Bild (zumindest, so der Schnittwinkel $\alpha$ nicht genau $90^\circ$ groß ist).

Was nun passiert ist, dass Du nicht nur das Spiegelbild des Spiegelbildes siehst, sondern das Spiegelbild des Spiegelbildes des Spiegelbildes usw. Das heißt auf der mathematischen Seite, dass man alle möglichen Abbildungen $s_1\circ s_2\circ s_1\circ\cdots$ bestimmt, die sich irgendwie aus den Spiegelungen $s_1$ und $s_2$ zusammensetzen lassen. Man spricht hier von der von den Spiegelungen $s_1$ und $s_2$ erzeugten Gruppe. Eine Spiegelung hat immer die Eigenschaft, dass sie zweimal angewendet wieder die identische Abbildung ergibt: wechselt man zweimal das Vorzeichen eines Basisvektors einer Orthonormalbasis, so erhält man die ursprüngliche Basis zurück. Das heißt also $s_1\circ s_1=s_2\circ s_2=\mathrm{id}$ . Wir haben uns auch schon überlegt, dass $s_1\circ s_2$ eine Drehung um den Winkel $2\alpha$ darstellt (und $s_2\circ s_1$ eine Drehung in entgegengesetzter Richtung). Dadurch erscheint es Dir so, als seien viele Spiegel um die Gerade $g$ herum angeordnet, sodass sich jeweils zwei im Winkel von $\alpha$ schneiden (denn die Ebene $E_1$ schneidet sich dann mit dem Spiegelbild $s_1(E_2)$ genau im Winkel $\alpha$ ).

Die zugehörige Gruppe nennt man eine Diedergruppe. Das sind Gruppen die von genau zwei Spiegelungen erzeugt werden (diese werden auch Involutionen genannt, d.h. $s^2=\mathrm{id}$ ). Wie viele Elemente die Diedergruppe nun hat, hängt von der Anzahl der unterschiedlichen Abbildungen, die sich als Verkettungen von den beiden Grundspieglungen schreiben lassen, ab. Dies wiederum hängt vom Winkel $\alpha$ ab: Ist zum Beispiel $\alpha=90^\circ$ , dann vertauschen $s_1$ und $s_2$ , sodass $s_1\circ s_2=s_2\circ s_1$ . Man überlegt sich dann leicht, dass es nur vier grundsätzlich verschiedene Abbildungen gibt: $\mathrm{id},\s_1,s_2,s_1s_2$ . Das entspricht der Diedergruppe $D_2$ der Ordnung $4$ . Das ist die Symmetriegruppe einer Strecke in der Ebene. Ist nun $\alpha=2\pi\frac{p}{q}$ ein rationales Vielfaches des Gesamtwinkels $2\pi$ mit $p,q\in\mathbb N_+$ teilerfremd, dann ist die von $s_1$ und $s_2$ erzeugte Gruppe die Diedergruppe $D_q$ der Ordnung $2q$ , also die Transformationsgruppe eines regelmäßigen $q$ -Ecks, denn $(s_1\circ s_2)^q=\mathrm{id}$ . Ist hingegen $\alpha$ kein solches rationales Vielfaches von $\pi$ , dann kehrt die Drehung $s_1\circ s_2$ nie zu ihrem Ausgangszustand zurück, d.h. sie erfüllt keine Gleichung der Form $(s_1\circ s_2)^q=\id$ . Damit erhalten wir die unendliche Diedergruppe $D_\infty$ .

Für zwei Spiegel ist das alles, was passieren kann. Nimmt man hingegen drei Spiegel oder mehr, so wird es komplizierter: Bei drei senkrecht aufeinander stehenden Spiegeln erhält man eine Gruppe mit acht Elementen, die jeweils den Einheitswürfel in sich überführen.

Solche Gruppen, die von endlich vielen Spiegelungen erzeugt werden, kann man genau studieren und klassifizieren, siehe dazu [1].

Auch die Exponate „Kaleidoskopspiegel“ und „Spiegeltrichter“ sind dazu relevant. Diese zeigen eine Gruppe, die von einer bestimmten Anordnung von Spiegeln erzeugt wird. Besonders der „Spiegeltrichter“ ist hier interessant, denn es scheint so, als sehe man hier die Seitenflächen eines Dodekaeders. Dieser Zusammenhang ist kein Zufall, denn ein platonischer Körper wird durch jede Spiegelung an einer Ebene, die durch seinen Mittelpunkt verläuft und eine seiner Kanten enthält, in sich selbst überführt (siehe auch das Exponat „Polyederkrone“).

Literatur

[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelsystem#Spiegelungsgruppen

[2] https://de.wikipedia.org/wiki/Diedergruppe

[3] https://de.wikipedia.org/wiki/Regelmäßiges_Polygon

[4] https://de.wikipedia.org/wiki/Platonischer_Körper