Ornament

Bei diesem Exponat kannst Du mit dem Finger bunte Linien zeichnen, die dann gemäß einer ausgewählten Symmetrievorschrift vervielfältigt werden. Aber woher kommen diese Symmetrien? Und was hat es mit dem Exponat auf sich? Dieser Frage wollen wir in diesem Vertiefungstext nachgehen.

Symmetrische Objekte und Muster begegnen Dir jeden Tag. Ein Parkett ist meistens in einem periodischen Muster verlegt. Die Fliesen in Deinem Badezimmer an der Wand ebenso. Aber welche grundsätzlich verschiedenen Möglichkeiten gibt es, eine Ebene mit einem periodischen Muster zu füllen. Diese Frage soll das vorliegende Exponat „Ornament“ anschaulich beantworten. Die siebzehn verschiedenen Auswahlmöglichkeiten, die Du hast sind in einem bestimmten Sinne „alle“, die es gibt.

Und nun … die Mathematik dazu:

Aber woher kommen die vorgegebenen Symmetrien des Exponats? Dies hat nun wieder mit der Gruppentheorie zu tun. Die abstandserhaltenden Selbstabbildungen des euklidischen Raumes bilden eine Gruppe: In der Tat kann man zwei solcher Isometrien hintereinander ausführen und erhält wieder eine Isometrie, und zu jeder solchen Abbildung gibt es eine eindeutige Umkehrabbildung, die wieder eine Isometrie ist. Hierbei gibt es grundsätzlich zwei unterschiedliche Typen von Abbildungen: Drehungen und Spiegelungen. Die Spiegelungen drehen die Orientierung um, d.h. wenn Du Dir ein Blatt Papier vorstellst, entspricht eine Spiegelung dem Vorgang, dass Du das Blatt entlang der Spiegelachse wendest. Bei einer Drehung hingegen wird das Blatt nur um einen Punkt herum gedreht (Du schaust hinterher aber immer noch seine Vorderseite an). Führt man zwei Spiegelungen hintereinander aus, so erhält man eine Drehung — dann schaust Du wieder die Vorderseite das Blattes an.

Bei diesem Exponat interessiert uns aber nicht die Gruppe aller möglichen Drehungen und Spiegelungen der Ebene (dass jede Isometrie von solchem Typus ist, ist das Thema des Exponats „Staubkreise“), sondern nur diskrete Untegruppen dieser. Was das genau ist, wollen wir hier nicht präzise definieren; man kann es aber kurz wie folgt zusammenfassen: Jeder Punkt wird unter einer Symmetrieoperation der Gruppe entweder fixiert oder auf einen anderen Punkt abgebildet, der einen gewissen Mindestabstand davon hat. Zu einer jeden solchen Gruppe gibt es viele symmetrische Muster, die von dieser Gruppe erhalten werden. Um nun die Gruppe gut zu veranschaulichen, bietet es sich daher an, solche Muster zu studieren (obwohl dies natürlich keine $1-1$ -Korrespondenz ist). Dies wollen wir im Folgenden tun.

Was gibt es nun für sich wiederholende Muster in der Ebene? Im Folgenden beschreiben wir die vier fundamentalen Eigenschaften von sich wiederholenden Mustern in der Ebene und führen eine Signatur für jedes solche Muster ein.

Lokale Symmetrien

Welche lokalen Symmetrien (d.h. Symmetrien um einen Punkt herum) kann eine ebene Figur haben? Wir wollen dies im Folgenden beschreiben und für jede Art eine Signatur vergeben.

Der Stern $\ast$ bezeichnet eine Spiegel- oder kaleidoskopische Symmetrie. Ein einzelner Stern bedeutet auch, dass die gegebene Figur keine anderen Symmetrien aufweist. Die nächste Signatur, die wir einführen, ist $\ast2\bullet$ . Die zugehörige Symmetrie heißt Stern-zwei-Punkt-Symmetrie. Dies bedeutet, dass die Figur in einem Punkt genau zwei Spiegelgeraden hat (die senkrecht aufeinander stehen). Der Stern $\ast$ steht auch für die in einem Punkt aufeinandertreffenden Spiegel eines Kaleidoskops (hier zwei). Der Punkt $\bullet$ bedeutet, dass alle Symmetrien einen Punkt fixieren (wie es hier der Fall ist, aber bei einer bloßen $\ast$ -Symmetrie nicht, da ja eine ganze Gerade fixiert wird).

Diese Signatur lässt sich nun leicht erweitern: So bedeutet $\ast n\bullet$ , dass in einem Punkt genau $n$ Spiegelgeraden aufeinandertreffen. Dahinter verbirgt sich die Diedergruppe $D_n$ . Siehe hierzu auch die nachfolgende Abbildung 1.

Gyrationen sind eine andere Art von lokaler Symmetrie, bei der keine Spiegelsymmetrie an einer Geraden, sondern nur Rotationssymmetrie vorliegt. Zum Beispiel hat das unbeliebte Hakenkreuz eine vierfältige Drehsymmetrie, aber keine Spiegelsymmetrien. Diese Form der Symmetrie erhält die Signatur $4\bullet$ . Eine $n$ -fältige Drehsymmetrie wird also mit $n\bullet$ abgekürzt, siehe Abbildung 2. Dahinter steht hier die zyklische Gruppe (realisiert als Drehgruppe) der Ordnung $n$ .

Der Fall, dass eine Figur in einem Punkt keinerlei Symmetrie aufweist, wird durch die Signatur $\bullet$ abgekürzt. Abgesehen von den eben aufgeführten Symmetrien um einen Punkt herum, gibt es keine anderen diskreten Symmetriegruppen (es gibt nur die Gruppen $\mathbf 1$ , $D_n$ und $C_n$ für $n\geq 1$ ). Ein Kreis beispielsweise hat unendlich viele Punktsymmetrien (nämlich alle Drehungen um diesen Punkt und alle Spiegelungen durch eine Achse, die diesen Punkt enthält). Dies ist aber unzulässig, denn es sind unendlich viele Symmetrien.

Friesmuster

Friesmuster sind Muster, bei denen eine Figur nicht nur gewisse Symmetrien in einem Punkt hat, sondern, bei denen dieser Punkt auch innerhalb des Musters in einer Richtung verschoben werden kann. Sie tauchen häufig in der antiken Architektur auf (siehe nachfolgende Abbildung 3).

Sich wiederholende Muster in der Ebene

Friesmuster haben nur eine Richtung, in der man sie um einen gewissen Betrag verschieben kann. Wir interessieren uns aber bei diesem Exponat für Muster, die sich in zwei verschiedenen Richtungen periodisch fortsetzen lassen und somit die ganze Ebene ausfüllen (siehe nachfolgende Abbildung 4).

Hierbei spielen, wie wir sehen werden, die lokalen Symmetrien um einen Punkt herum, eine große Rolle.

Kaleidoskopische Muster

Muster, deren Symmetrien durch Spiegelungen definiert werden, nennt man kaleidoskopisch. Der Name begründet sich darin, dass ein Muster, das man in einem Kaleidoskop sieht, ein solches kaleidoskopisches Muster ist (siehe hierzu auch die Exponate „Kaleidoskopspiegel“ und „Kaleidoskop“).

Aber wie lassen sich solche Muster beschreiben? Die Antwort lautet: Dadurch, wie sich ihre Spiegelgeraden schneiden. In der nachfolgenden Abbildung 5 kann man dies gut sehen. Hier gibt es drei interessante Typen von Punkten: In der ersten Art treffen sich sechs Spiegel (lokale Symmetrie $\ast6\bullet$ ), in der zweiten Art treffen sich drei Spiegel (lokale Symmetrie $\ast3\bullet$ ) und in der dritten treffen sich nur zwei Spiegel (lokale Symmetrie $\ast2\bullet$ ). Die Signatur des gesamten kaleidoskopischen Musters ist somit $\ast632$ (hierbei fehlt der Punkt, da nicht alle Spiegelungen einen Punkt fixieren). In welcher Reihenfolge hier die Zahlen $2,3,6$ notiert werden, spielt keine Rolle, denn dies spiegelt nur wieder, bei welcher Ecke des ausgezeichneten Dreiecks man anfängt oder ob man ein gespiegeltes Dreieck betrachtet.

Gyrationen

Auch das in Abbildung 6 gezeigte Muster hat viele Spiegelsymmetrien. Hätte es nur diese, so wäre seine Signatur $\ast333$ . Allerdings fällt bei genauerer Betrachtung auf, dass es noch eine weitere Symmetrie gibt: Schaut man sich nämlich das rote Dreieck an, so fällt auf, dass dieses Dreieck — ein gleichseitiges Dreieck — in seinem Mittelpunkt um $60^\circ$ gedreht werden kann, sodass das Muster darunter erhalten bleibt. In diesem Punkt hat das Muster allerdings keine Spiegelsymmetrien. Die Signatur des Musters wird auf $3\ast3$ gesetzt, denn es gibt eine Art von Punkten mit dreifältiger Drehsymmetrie (lokale Symmetriegruppe $C_3$ ) und eine Art von Punkten mit dreifältiger Spiegelsymmetrie (lokale Symmetriegruppe $D_3$ ).

So geht man nun weiter vor: Für ein gegebenes Muster zählt man immer die Anzahl von Typen von Punkten mit nicht-trivialen lokalen Symmetrien. So hat das nachfolgende Muster (Abbildung 7) beispielsweise die Signatur $2\ast22$ .

Es kann allerdings auch auftreten, dass es keinerlei Spiegelsymmetrien gibt. So hat das folgende Muster (Abbildung 8) zum Beispiel die Signatur $444$ , da es vier verschiedene Punktesorten mit vierfältiger Drehsymmetrie gibt, aber keinerlei Spiegelsymmetrien auftauchen.

Eine naheliegende Frage ist nun, welche Muster oder welche Signaturen überhaupt möglich sind. Gibt es zum Beispiel Muster mit Spiegelgeraden in nur eine Richtung. In der nachfolgenden Abbildung 9 sind zwei davon dargestellt; eines mit einem Typ von Spiegelgeraden und ein anderes mit zwei verschiedenen Typen. Das erste hat dementsprechend die Signatur $\ast$ , das zweite hingegen $\ast\ast$ .

Wunder und Wunder-Ringe

In solchen Mustern wie diesen (d.h. wenn die Spiegelgeraden eine unendlich große Region begrenzen) kann es dann noch kleine Wunder geben, die auftreten können: Nämlich Verbindungslinien von entgegengesetzt gerichteten Spiralen, die keine Spiegelgerade kreuzen. Für jede solcher Linien macht man in der Signatur ein $\times$ . Die nachfolgende Abbildung zeigt ein Muster mit einer und zwei solcher Linien (hierbei nimmt man nur so viele solche Linien, dass sich jede weitere daraus zusammensetzen lässt). Beim ersten Muster gibt es noch einen Typ von Spiegelgeraden. Daher erhält es die Signatur $\ast\times$ . Das zweite Muster hingegen hat gar keine Spiegelsymmetrien und erhält daher nur die Signatur $\times\times$ .

Ein Wunder ist eine Kombination aus Translation und Spiegelung eines Fundamentalbereichs, die nicht allein durch eine Spiegelung oder Drehung des Gesamtmusters erklärt werden kann. Es gibt aber sogar die Möglichkeit einer Wiederholung des Fundamentalbereichs, die weder durch eine Drehung oder eine Spiegelung, noch durch ein Wunder erklärt werden kann. Solche Wiederholungen treten immer in Paaren auf (da sich das Muster ja in zwei Richtungen unendlich ausdehnen soll). Ein solches Phänomen nennen wir Wunder-Ring (aus dem Englischen: wonder-ring) und kürzen es mit $\circ$ ab. Das nachfolgende Muster hat beispielsweise die Signatur $\circ$ .

Zusammenfassung

Wir haben bisher vier verschiedene Phänomene beschrieben: Spiegelgeraden (kaleidoskopische Muster), Gyrationen, Wunder und Wunder-Ringe. Der Inhalt des Exponats „Ornament“ ist es nun, dass diese Phänomene ausreichen, um ein jedes periodisches Muster zu beschreiben, das sich in zwei Richtungen unendlich ausdehnt. Wunder-Ringe und Gyrationen erhalten hierbei die Orientierung, wohingegen Spiegelgeraden und Wunder sie umkehren. Wir fassen dies nochmal in folgender Tabelle zusammen:

	Wunder-Ring	Gyration	Spiegelgerade	Wunder
Symbol	$\circ\cdots\circ$	$ab\ldots c$	$\ast ab\ldots c\ast de\ldots f\ldots$	$\times\cdots\times$

Tabelle 1: Die vier fundamentalen Phänomene

Mithilfe dieser Notation können wir jetzt alle möglichen Typen von periodischen Mustern in der Ebene, die sich in zwei Richtungen unendlich weit ausbreiten, ermitteln. Dazu führen wir für jedes der obigen Symbole Kosten ein:

Symbol (orientierungserhaltend)	Kosten	Symbol (orientierungsumkehrend)	Kosten
$\circ$	$2$	$\ast$ oder $\times$	$1$
$2$	$1/2$	$2$	$1/4$
$3$	$2/3$	$3$	$1/3$
$4$	$3/4$	$4$	$3/8$
$n$	$\frac{n-1}{n}$	$n$	$\frac{n-1}{2n}$
$\infty$	$1$	$\infty$	$1/2$

Tabelle 2: Kosten jedes Symbols

Es gibt nun den folgenden mathematischen Satz, der das Zentrum dieses Exponats darstellt: Dieser besagt, dass die möglichen Signaturen von ebenen periodischen Mustern genau diejenigen mit Gesamtkosten von genau $2$ sind. Wir wollen diesen Satz aber an dieser Stelle nicht beweisen, sondern ihn nur anwenden: Das erste dargestellte Muster hatte beispielsweise die Signatur $\ast 632$ . Dies entspricht den Kosten $1+\frac{5}{12}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=2$ wie gewünscht. Das Muster mit der Signatur $3\ast 3$ hat auch Gesamtkosten von $\frac{2}{3}+1+\frac{1}{3}=2$ . Das Muster mit den zwei kaleidoskopischen Symmetrien und der einen Drehsymmetrie mit Signatur $2\ast 22$ hat dementsprechend auch die Gesamtkosten von $\frac{1}{2}+1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=2$ . Schlussendlich hat das Muster mit der einen Spiegelsymmetrie und dem einen Wunder, dessen Signatur dementsprechend $\ast\times$ ist, auch Gesamtkosten $1+1=2$ .

Nun bist Du an der Reihe. Bestimme zunächst die Signaturen der beim Exponat gezeigten siebzehn verschiedenen Muster und überprüfe deren Gesamtkosten. Kannst Du zeigen, dass es nur genau diese siebzehn Typen geben kann, indem die die möglichen Signaturen analysierst?

Literatur

[1] Conway, J.H., Burgiel, H. und Goodman-Strauss, C.: The Symmetries of Things, 2008.

[2] https://de.wikipedia.org/wiki/Ebene_kristallographische_Gruppe

[3] https://de.wikipedia.org/wiki/Diedergruppe

[4] https://de.wikipedia.org/wiki/Zyklische_Gruppe