Tonkreisel

Hier siehst Du das Exponat „Tonkreisel“ im ERLEBNISLAND MATHEMATIK. Der Tonkreisel ist ein Musikinstrument für einen oder mehrere Spieler. Die Spieloberfläche besteht aus 15 Bodensensoren, die entlang einer Spirallinie auf sieben farbigen Kreissegmenten angeordnet sind. Beim Niederdrücken der Sensoren mit dem Fußballen erklingen gesungene Tonsilben (do, re, mi, fa, so, la, ti) in bestimmten Tonhöhen. In der Mitte des Instruments befindet sich ein drehbarer Zylinder, dessen 84 Stellungen jeweils andere Verteilungen der Tonsilben und Tonhöhen kodieren. Die folgenden Erläuterungen sollen dazu einladen, sich den Tonkreisel als ein Medium der spielerischen Vermittlung sowohl mathematischer als auch musiktheoretischer Einsichten zu erschließen. Kleine „Kompositionen“ für zwei, drei und mehr Spieler können hier studiert und dann auf dem Tonkreisel ausprobiert werden.

Musikforscher haben mit mathematischen Mitteln interessante Einsichten in die Struktur der diatonischen Skala und ihrer Modi gewonnen. Dazu gehören unter anderem Eytan Agmon, Gerald Balzano, Norman Carey, John Clough, David Clampitt, Jack Douthett, Julian Hook und Eric Regener. Das Exponat ist besonders von folgendem Beitrag inspiriert: Jack Douthett et al. (2008): Filtered Point-Symmetry and Dynamical Voice-Leading. In: Music Theory and Mathematics: Chords, Collections, and Transformations. University of Rochester Press. Der vorliegende Text erläutert, wie einige dieser Einsichten bei der Konstruktion des Tonkreisels ausgenutzt wurden. An der Realisierung des Exponats waren beteiligt: Thomas Noll (Idee und Gesamtkonzept), Antje Werner und Robert Thiele (Gestaltung), Firma Kluge (Konstruktion), Marije Baalman (Sensorik und Programmierung), Jörg Garbers (Programmierung), sowie das Team des ERLEBNISLANDes MATHEMATIK unter Leitung von Michael Vogt (Konzept, Konstruktion, Logistik). Die Solmisationssilben wurden von Studierenden der Hochschule für Kirchenmusik in Dresden eingesungen.

Zunächst etwas Mathematik: Sieben aus Zwölf

Man kann einen Kreis in sieben regelmäßige Segmente teilen und man kann einen Kreis in zwölf regelmäßige Segmente teilen. Man kann jedoch nicht beides zugleich. Genauer gesagt: Man kann nicht aus einem regelmäßigen Zwölfeck sieben Ecken derart wählen, dass sie dann ein regelmäßiges Siebeneck bilden. Schließlich ist ja die Zahl 7 kein Teiler der Zahl 12. Schlimmer noch: Der größte gemeinsame Teiler von 7 und 12 ist die 1. Trotzdem gibt es eine maximal regelmäßige Auswahl von 7 aus 12. Sie ist so regelmäßig wie eben möglich. Was auf den ersten Blick wie ein „fauler Kompromiss“ aussieht, ist der Schlüssel zu einer äußerst interessanten mathematischen Struktur. In Abbildung 2 sieht man, wie die maximal regelmäßige Auswahl entsteht. Außen ist der Kreis in sieben und innen in zwölf gleichgroße Segmente geteilt.

Die konkrete Auswahl in Abbildung 2 hängt von der Stellung des inneren als beweglich gedachten Kreises gegenüber dem festen äußeren Kreis ab. Anhand der Nummerierung 1 bis 7 (außen) bzw. 0 bis 11 (innen) kann man jedes Segment identifizieren, während sich der innere Kreis gegen den äußeren dreht. In der trennenden schwarzen Kreislinie gibt es genau sieben Schlitze, die ebenfalls regelmäßig verteilt sind. Sie befinden sich jeweils in der Mitte der Siebener-Segmente. In jeder Konfiguration „fließt“ die Farbe von den äußeren und unveränderlichen Siebener-Segmenten durch die Schlitze in die jeweils vorbeikommenden Zwölfer-Segmente. Dadurch wird die jeweilige Auswahl bestimmt. Insgesamt gibt es 84 Konfigurationen. Das kann man anhand des Zählers in der Mitte ablesen (siehe nachfolgende Abbildung 3).

Jedes der Zwölfer-Segmente (weiße Nummern von 0 bis 11) bewegt sich irgendwann am roten Siebener-Feld (mit der schwarzen Nummer 1) vorbei. Währenddessen ergeben sich genau sieben Konfigurationen. Und: .

Die sieben Stufen der Tonleiter

Die kreisförmige Spielfläche ist in sieben gleichgroße farbige Segmente geteilt. Diese Segmente verkörpern die sieben Stufen der diatonischen Tonleiter.

In der Musiklehre nummeriert man die Stufen mit den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Auf der Spielfläche ist es das rote Feld, welches die Nummer 1 trägt. Von dort aus steigen die Ziffern rund um den Kreis gegen den Uhrzeigersinn: Orange = 2, Gelb = 3 usw. (siehe nachfolgende Abbildung 4)

Auf jedem Feld befinden sich Bodensensoren, die auf Druck Klänge auslösen. Die Sensorpositionen sind mit einer spiralförmigen Linie untereinander verbunden. Diese Spirale beginnt und endet auf der ersten Stufe, d.h. dem roten Feld mit der Nummer 1. Nur dort gibt es drei Sensoren. Alle anderen Stufenfelder haben zwei Sensoren. Folgt man der Spirale gegen den Uhrzeigersinn, so steigen die Tonhöhen der Klänge an. Sowohl der tiefste als auch der höchste Ton gehören zur ersten Stufe. Die Töne, die jeweils zur gleichen Stufe gehören, sind oktav-verwandt. Sie klingen unserem Empfinden nach sehr ähnlich, obgleich sie in der Tonhöhe weit voneinander entfernt sind. Wenn man den Zylinder in der Mitte des Instruments dreht, ändern sich jeweils Tonhöhen bzw. Tonsilben. Dennoch erklingt der jeweils tiefste Ton immer am äußeren Ende der Spirale und der jeweils höchste Ton am inneren Ende der Spirale. Die Stufe 1 ist also immer Anfang und Ende der Tonleiter.

Die lateinische Intervallbezeichnung Octava (d.h. die Achte) beruht auf der Zählung der Stufen, die hier genau einmal rund um den Kreis führt. Dass die Spirale zweimal um den Kreis führt, ermöglicht einen größeren Tonumfang von zwei Oktaven zum Musizieren.

Sieben aus zwölf Tönen

Die Verteilung der weißen und schwarzen Tasten auf der üblichen Klaviertastatur ist maximal regelmäßig (siehe nachfolgende Abbildung 5, links). Schwarze Tasten, von denen es nur 5 gibt, liegen an keiner Stelle nebeneinander und die beiden Stellen, wo je zwei weiße Tasten benachbart sind, folgen — so regelmäßig, wie möglich — aufeinander.

Die farbigen Klaviertasten (siehe Abbildung 5, rechts) setzen die C-Dur-Tonleiter C-D-E-F-G-A-H-C‘ in Beziehung zur Konfiguration mit der Nummer 1 (links). Der Tonkreisel hat gegenüber dem Klavier die Beschränkung, dass in jeder einzelnen Konfiguration immer nur 7 Töne pro Oktavregister spielbar sind. Es gibt also keine schwarzen Tasten im engeren Sinne. Allerdings kann man durch Drehen des Zylinders die Tonbedeutungen der farbigen Stufenfelder dahingehend ändern, das diejenigen Töne, die ein Klavierspieler mit schwarzen Tasten hervorrufen muss, zu sogenannten Stammtönen werden. Das heißt, diese Töne verhalten sich in der betreffenden Konfiguration so wie die Töne C-D-E-F-G-A-H-C‘ in der Konfiguration 1.

84 diatonische Modi

Der drehbare Zylinder in der Mitte des Tonkreisels ist von innen erleuchtet. Sieben unbewegliche vertikale Schattenstreifen rund um die Zylinderwand lassen das Licht nur in die dazwischen liegenden sieben unbeweglichen hellen Streifen fallen. Die nachfolgende Abbildung 5 zeigt eine Abwicklung der Zylinderwand (hier noch ohne Berücksichtigung der beweglichen Graphik).

Teilt man die ganze Zylinderwand ringsherum in 84 gleichschmale vertikale Streifen auf, so entfallen auf jeden Schatten jeweils 5 und auf die lichtdurchfluteten Bereiche jeweils 7 solcher 1/84-Streifen.

Auch diese Struktur erinnert entfernt an eine Klaviertastatur. Allerdings sieht es auf den ersten Blick so aus, als seien hier zwei schwarze Tasten zu viel. Genauer gesagt: Anstelle von 5 schwarzen Tasten mit der Breite von je 7 schmalen Streifen, wie man erwarten würde, gibt es hier 7 Schatten mit der Breite von je 5 schmalen Streifen. Abbildung 9 zeigt, wie die bereits vorgestellte Methode zur maximal-regelmäßigen Auswahl von sieben Segmenten aus zwölf mit dieser Schattenverteilung funktioniert.

Jede der Ziffern 0, 1, …, 11 ist genau dann ausgewählt und erscheint entsprechend in „Weiß“, wenn sie innerhalb eines der sieben farbigen Segmente liegt. Ansonsten liegt sie in einem Schatten und erscheint in „Schwarz“. Es zeigt sich, dass immer in zwei Schatten keine der Ziffern erscheint. Diese Schatten bleiben also leer und repräsentieren folglich auch keine schwarzen Tasten. Jede ausgewählte Ziffer durchläuft jeweils genau sieben benachbarte Dreh-Positionen, bis sie wieder in einen Schatten eintritt. Diese Positionen lassen sich mit den Tonsilben fa, do, so, re, la, mi, ti assoziieren. Dies kann man in Abbildung 10 verfolgen.

Während in jeder einzelnen Position die Tonsilben im Kreis gegen den Uhrzeigersinn in der Reihenfolge do, re, mi, fa, so, la, ti erscheinen, durchlaufen die mit einer festen Ziffer assoziierten Tonsilben von Position zu Position die Reihenfolge fa, do, so, re, la, mi, ti. Warum das so ist, erschließt sich aus einer mathematischen Überlegung.

Töne und Notennamen auf dem Zylinder

Zur Bezeichnung der zwölf chromatischen Halbtöne verwendet man in der traditionellen Musiktheorie anstelle der Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 Notennamen, wie z.B. C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#, A, A#, H. Man kann sich jedoch nicht auf die Auswahl dieser 12 Namen beschränken, denn in den meisten der 84 Positionen entstehen dann unkorrekte Benennungen der ausgewählten Töne. In Abbildung 11 werden jene Namen, die in einen der sieben Schatten eintauchen, durch andere Namen ersetzt, bevor sie wieder aus dem Schatten hervortreten.

Auf der roten Stufe 1 stehen immer Namen, die mit dem Buchstaben C anfangen, also …, Cx, C#, C, Cb, … (sprich: …, Cisis, Cis, C, Ces, …). Auf der orangefarbigen Stufe 2 stehen immer Namen, die mit dem Buchstaben D anfangen, also …, Dx, D#, D, Db, Dbb, … (sprich: …, Disis, Dis, D, Des, Deses, …), usw. Diese Darstellung zeigt noch nicht den Zusammenhang der Notennamen mit verschiedenen Tonbuchstaben untereinander, da sie jeweils in den Schatten verschwinden, bzw. von dort auftauchen. Die Struktur der Notennamen ist zwei-dimensional und kann auf dem beweglichen Zylindermantel in adäquater Form dargestellt werden. Hier ist ein Ausschnitt:

Abbildung 13 zeigt, wie sich das Netz der Tonnamen gegen die unbeweglichen vertikalen Schatten bewegt. Die ebenfalls mitbewegten diagonalen Schatten bewirken im Zusammenspiel mit den vertikalen unbewegten Schatten, dass die in einer der 84 Positionen jeweils zusammen gehörenden sieben Notennamen (für die gerade ausgewählten Töne) in den erleuchteten Parallelogrammen stehen, die rings um den Zylindermantel nebeneinander auf gleicher Höhe liegen.

Ganztonschritte und Halbtonschritte

Während die sieben Stufen-Segmente der kreisförmigen Spielfläche alle gleich groß sind, sind die hörbaren Stufenintervalle unterschiedlich groß. Es gibt fünf größere Schritte (Ganztöne) und zwei kleinere (Halbtöne). Letztere entsprechen jenen beiden Schatten, die keine schwarzen Tasten repräsentieren.

Man sieht, dass die farbigen Linien für Ganz- und Halbtonintervalle (blau und rot), in ein ganzes Netz solcher Intervalle eingebettet sind, welches alle Noten miteinander verbindet. Wenn man den Zylinder um eine Stellung weiterdreht (siehe die beiden untereinander platzierten Graphiken in Abbildung 15), ändern sich aus der aktuellen Auswahl genau zwei Intervalle. Beim Übergang von C-ionisch (C-D-E-F-G-A-H-C) zu C-lydisch (C-D-E-Fis-G-A-H-C) wird der Halbton E-F ersetzt durch den Ganzton E-Fis und umgekehrt wird der Ganzton F-G ersetzt durch den Halbton Fis-G.

Obwohl hier scheinbar nur an einer Stelle „herumoperiert“ wird, bleibt das Schrittmuster trotzdem insgesamt erhalten. Es ist nun um vier Schritte verschoben. Die fünf Intervalle zwischen den Tonsilben do-re, re-mi, fa-so, so-la und la-ti sind stets Ganztöne und die beiden Intervalle mi-fa und ti-do sind stets Halbtöne. Wie man links in Abbildung 15 sieht, taucht das Muster do-re-mi-fa-so-la-ti um vier Schritte verschoben wieder auf. Wenn man sich über diese Merkwürdigkeit lange genug gewundert hat, kann man zum besseren Verständnis mathematische Überlegungen anstellen.

Stimmenkreisel: Drei Spieler bilden ein rotierendes Dreieck

Man kann in einem regelmäßigen Siebeneck keine drei Punkte auswählen, die ein regelmäßiges Dreieck bilden, denn 3 ist kein Teiler von 7. Es gibt aber eine maximal regelmäßige Anordnung, die hier die Grundlage für eine „Choreographie“ für drei Spieler bildet.

Abbildung 16 weiter unten zeigt die minimale Positionsveränderung eines Dreiecks, das sich insgesamt in 21 Positionen einmal im Kreis dreht. Seine drei Ecken zeigen jeweils auf diejenigen Stufenfelder, auf denen die drei Spieler gerade stehen und wo sie auch einen Bodensensor ihrer Wahl herunterdrücken sollen.

Bei jeder Positionsänderung des Dreiecks überstreicht jeweils nur eine Ecke die Grenze zwischen zwei Stufenfeldern. Folglich muss auch immer nur ein Spieler entlang der Spirale einen Schritt weiter gehen. Die beiden anderen Spieler bleiben solange mit dem Fuß auf dem gerade niedergedrückten Sensor stehen.

Es entsteht eine Sequenz von Dreiklängen (und deren Umkehrungen), die in der Musiktheorie als diatonische Dreiklänge bezeichnet werden. Die „Mechanik“ des Zusammenspiels der drei Spieler beruht auf demselben mathematischen Prinzip, wie schon die Auswahl der sieben diatonischen Töne aus zwölf chromatischen Tönen, die der Konstruktion des Tonkreisels zugrunde liegt.

Merkhilfe: Die Bewegung erfolgt gegen den Uhrzeigersinn, (aufsteigende Melodieschritte) und es macht immer derjenige einen Schritt zum nächsten Sensor, der zwei freie Felder vor sich hat.

Interessant wird es, wenn man beide Bewegungen kombiniert: die Fortschreitung der drei Stimmen in einer Sequenz von Dreiklängen, wie hier beschrieben, und die Alteration der unterliegenden diatonischen Modi durch Drehung des Zylinders.

Stimmenkreisel: Vier Spieler bilden ein rotierendes Quadrat

Man kann in einem regelmäßigen Siebeneck keine vier Punkte auswählen, die ein regelmäßiges Viereck (Quadrat) bilden, denn 4 ist kein Teiler von 7. Es gibt aber eine maximal regelmäßige Anordnung, die hier die Grundlage für eine „Choreographie“ für vier Spieler bildet.

Abbildung 17 zeigt die minimale Positionsveränderung eines Quadrats, dass sich insgesamt in 28 Positionen einmal im Kreis dreht. Seine vier Ecken zeigen jeweils auf diejenigen Stufenfelder auf denen die vier Spieler gerade stehen und wo sie auch einen Bodensensor ihrer Wahl niederdrücken sollen.

Bei jeder Positionsänderung des Quadrats überstreicht jeweils nur eine Ecke die Grenze zwischen zwei Stufenfeldern. Folglich muss auch immer nur ein Spieler entlang der Spirale einen Schritt weiter gehen. Die drei anderen Spieler bleiben solange mit dem Fuß auf dem gerade niedergedrückten Sensor stehen.

Es entsteht eine Sequenz von Vierklängen, die in der Musiktheorie als diatonische Septakkorde bezeichnet werden. Die „Mechanik“ des Zusammenspiels der vier Spieler beruht also auf demselben mathematischen Prinzip, wie schon die Auswahl der sieben diatonischen Töne aus zwölf chromatischen Tönen, die der Konstruktion des Tonkreisels zugrunde liegt.

Merkhilfe: Die Bewegung erfolgt im Uhrzeigersinn (absteigende Melodieschritte), und es macht immer derjenige Spieler einen Schritt zum nächsten Sensor, der einen anderen Spieler auf dem Feld direkt hinter sich hat.

Interessant wird es, wenn man beide Bewegungen kombiniert: die Fortschreitung der vier Stimmen in einer Sequenz von Septakkorden, wie hier beschrieben, und die Alteration der unterliegenden diatonischen Modi durch Drehung des Zylinders.

Noch etwas Mathematik: Noch einmal 7 aus 12

Wenn zwei Zahlen teilerfremd sind, d.h. wenn sie außer der Zahl 1 keinen gemeinsamen Teiler haben, dann gibt es Vielfache der einen Zahl, die direkte Nachbarn von bestimmten Vielfachen der anderen Zahl sind. Die nachstehenden beiden Zahlenfolgen sind die Vielfachen der teilerfremden Zahlen 7 und 12:

Dabei sind 35 und 36 benachbart ( und ). Ebenso sind 48 und 49 benachbart ( und ).

Aber was hat diese Tatsache mit dem Tonkreisel zu tun? Wir schreiben zunächst die obere (arithmetische) Folge der Vielfachen von 7 je als Summe aus einem Vielfachen von 12 und einem Rest: , , , , , , , . Die Folge der ersten sieben Reste (0, 7, 2, 9, 4, 11, 6) ist einerseits eine um den Kreis (oder ein regelmäßiges 12-Eck) gewickelte arithmetische Folge und andererseits kennen wir sie bereits als maximal regelmäßige Auswahl von 7 Punkten aus einem regelmäßigen 12-Eck. Wir haben also zwei alternative Weisen, die Tonleiter zu gewinnen. Eine Kuriosität der Zahlen 7 und 12? Oder ein allgemeiner Zusammenhang? Ist jede um ein regelmäßiges Polygon gewickelte arithmetische Folge maximal regelmäßig? Wir können leicht ein Experiment mit der Schrittweite (Periode) 1 machen. Die Folge (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) ist zweifellos eine arithmetische Folge, aber als Ecken auf dem Zwölfeck (0, 1, …, 11) liegen sie alle beieinander und sind alles andere als regelmäßig verteilt. Man muss also ein bisschen über den Zusammenhang zwischen der Schrittweite und der Anzahl der Töne nachdenken. Angesichts der Schrittweite 7 und der Anzahl 7 der beteiligten Töne gilt 7 mal 7 gleich . Es stellt sich nämlich folgendes heraus: Genau die obige Tatsache, dass 48 und 49 Nachbarn sind, ist dafür verantwortlich, dass die arithmetische Sequenz aus 7 Elementen bei der Schrittweite 7 maximal regelmäßig ist. Einen Beweis dieser Behauptung bleiben wir hier schuldig. Aber Musiker können sich einen dritten Umstand klarmachen, der die Beweisidee verdeutlicht: Jedes diatonische Intervall (außer der Prime) gibt es in zwei spezifischen Größen: kleine und große Sekunde, kleine und große Terz, reine und übermäßige Quarte, verminderte und reine Quinte, kleine Sexte und große Sexte, kleine und große Septime. Diese „Spezien“ tauchen ihrerseits in verschiedenen Vielfachheiten auf. Es gibt vier kleine und drei große Terzen (bzw. drei kleine und vier große Sexten). Es gibt zwei kleine und fünf große Sekunden (bzw. fünf kleine und zwei große Septimen). Es gibt sechs reine und eine übermäßige Quarte (bzw. eine verminderte und sechs reine Quinten). Jede Zerlegung der Gesamtzahl 7 kommt vor: , und . Daraus kann man bereits schließen, dass die Tonleiter eine arithmetische Sequenz sein muss. Denn die Zerlegung besagt, dass es 6 gleiche Intervalle gibt und diese müssen zwangsläufig eine zusammenhängende Kette bilden.

Die Struktur der Tonleiter als arithmetische Folge ist bekannt unter dem Namen Quintenzirkel. Für ein besseres Verständnis der Mechanik des Alterierens (Drehen des Zylinders) ist es nützlich, diesen Aspekt noch einmal genauer anzuschauen. Wir nehmen noch einmal die Sequenz (0, 7, 2, 9, 4, 11, 6) und addieren zu jedem Element die Zahl 7 und nehmen wieder den Rest bei Division durch 12. Dabei erhalten wir (7, 2, 9, 4, 11, 6, 1). Diese Folge kann umsortiert werden zu (7, 9, 11, 1, 2, 4, 6,) oder auch zu (1, 2, 4, 6, 7, 9, 11) und erweist sich in beiden Fällen auch als maximal regelmäßig und gehört deshalb zu anderen Stellungen des Tonkreisels. Da wir ausgerechnet die Zahl 7 addieren, die ja auch die Schrittweite innerhalb der Sequenz ist, erhalten wir dieselben Reste auch, wenn wir in (0, 7, 2, 9, 4, 11, 6) die „0“ am Anfang weglassen und dafür hinten das nächste Element der arithmetischen Folge anfügen: die „1“. Obwohl wir zu jedem Element 7 addieren, unterscheidet sich das Resultat von der Ausgangsfolge nur in einer einzigen Zahl. Nach Umsortierung ist das besonders deutlich: Aus der Folge (0, 2, 4, 6, 7, 9, 11) wird die Folge (1, 2, 4, 6, 7, 9, 11). In Notennamen: (C, D, E, Fis, G, A, H) wird zu (Cis, D, E, Fis, G, A, H). Dies entspricht dem Moduswechsel von C-Lydisch zu Cis-Lokrisch. Umgekehrt kann man in (0, 7, 2, 9, 4, 11, 6) die „6“ weglassen und dafür vorn die Zahl 5 gleich anfügen. Die Folge (5, 0, 7, 2, 9, 4, 11) wird umsortiert zu (0, 2, 4, 5, 7, 9, 11). In Notennamen (C, D, E, F, G, A, H). Dies entspricht dem Moduswechsel von C-Lydisch zu C-Ionisch.

Nachstehend sind noch einmal die Stufenmuster von Lydisch und Ionisch im Vergleich abgebildet. Die Verschiebung der vierten Stufe entspricht entweder einer Vertauschung von Ganzton und Halbton bei den Schritten 3-4 und 4-5 oder aber einer zyklischen Permutation des ganzen Musters (Verschiebung um 4 Schritte nach rechts).

Um diesen Zusammenhang auf der Beschreibungsebene der Schrittmuster zu würdigen, kann man zur Illustration ein beliebiges Wort aus sieben Buchstaben nehmen und als Zyklus auffassen (d.h. nach dem letzten Buchstaben kommt wieder der erste). Einerseits kann man die Buchstaben um soundso viele Positionen zyklisch permutieren (7 Möglichkeiten), andererseits kann man je zwei benachbarte Buchstaben vertauschen (sieben Möglichkeiten). Bei einem Wort wie dresden führen keine dieser Permutationen zum selben Ergebnis, obgleich die Buchstaben „d“ und „e“ doppelt auftreten.

Anders verhält sich das beim Wort aabaaab, welches das Schrittmuster des Ionischen Modus repräsentiert. Hier steht der Buchstabe „a“ für Ganzton und „b“ für Halbton. Hier gibt es sieben verschiedene zyklische Permutationen (siehe Abbildung 22). Nur vier der sieben Vertauschungen benachbarter Buchstaben liefern tatsächlich andere Wörter. Zwei davon wiederum stimmen mit zyklischen Vertauschungen überein: aabaaba (mixolydisch) und aaabaab (lydisch).

Derartige Betrachtungen gehören in das Gebiet der algebraischen Kombinatorik auf Wörtern. Für eine weiterführende Online-Lektüre siehe [1].

Text: Thomas Noll

Literatur

[1] Clampitt, David and Thomas Noll (2010): “Modes, the Height-Width Duality, and Handschin’s Tone Character”, Music Theory Online, Volume 17, Number 1, March 2011.