Wie groß ist die Fläche eines Kreises?

Diese Frage hat schon die Ägypter um 2000 v. Chr. beschäftigt. Dieses Exponat soll helfen, darauf selbst eine Antwort zu finden. Mittels „geschicktem“ Umlegen von Sektoren eines gegebenen Kreises erkennt man, dass dessen Flächeninhalt genau so groß ist wie der einer Parallelogramm-ähnlichen Figur (vgl. Abbildung 3). Man erhält auf diese Weise einen Zusammenhang zwischen dem Umfang und dem Flächeninhalt eines Kreises.

Und nun … die Mathematik dazu:

Zunächst zerlegt man den gegebenen Kreis in $n$ deckungsgleiche Kreissektoren. Dabei sollte $n$ gerade sein (für ungerade $n$ würde ein analoges Vorgehen, allerdings mit einem „Trapez“ statt einem „Parallelogramm“, zum selben Ergebnis führen). In unserem Beispiel wurde $n=12$ gewählt.

Wie groß ist die Fläche eines Kreises v1

Jeder dieser Sektoren hat folgende Gestalt:

Wie groß ist die Fläche eines Kreises v2

Wer sich mit dem Exponat beschäftigt, stellt rasch fest, dass man mit einfachem „Probieren“ oder gar „Gewalt“ bei der Aufgabe, den Flächeninhalt des Kreises zumindest näherungsweise zu bestimmen, nicht weiterkommt. Es gibt aber eine gute näherungsweise Lösung. Diese sieht so aus:

Wie groß ist die Fläche eines Kreises v3

Man sucht nun Zusammenhänge zwischen dem zugrundeliegenden Kreis und dem zugeordneten „Parallelogramm“ (Abbildung 3). Es gilt:

Der Kreis und das „Parallelogramm“ haben den gleichen Flächeninhalt.
Das „Parallelogramm“ nährt sich mit wachsendem $n$ immer mehr einem Rechteck an, dessen Höhe der Radius $r$ des gegebenen Kreises und dessen Breite gleich dem halben Umfang $p/2$ desselben ist.

Warum? Hier die Begründung(en):

Da der Kreis und das „Parallelogramm“ aus denselben Teilen zusammengesetzt sind, müssen beide denselben Flächeninhalt haben. Mathematisch ausgedrückt: Zerlegungsgleichheit impliziert Inhaltsgleichheit.
Die gleichgroßen Sektoren des Kreises nähren sich mit wachendem $n$ immer mehr einer Strecke der Länge $r$ an. Im „Parallelogramm“ stehen sie „aufrecht“. Daher nährt sich dessen Höhe immer mehr dem Radius $r$ an (vgl. Abbildung 3).
Wenn die Sektoren im Kreis liegen (vgl. Abbildung 1), entspricht der Umfang $p$ des Kreises dem Produkt $n\cdot b$ aus der Anzahl $n$ der Sektoren (in unserem Beispiel $n=12$ ) mit der Bogenlänge $b$ eines Sektors (vgl. Abbildung 2). Im „Parallelogramm“ (Abbildung 3) stehen genau die Hälfte der Sektoren so, dass ihre Spitze nach oben weist, und die andere Hälfte in umgekehrter Richtung. Diese Anordnung ergibt, dass sich die Länge der Grundseite des „Parallelogramm“ immer mehr dem Wert $\frac{n}{2}\cdot b=p/2$ annähert.

Fasst man diese Überlegungen zusammen, so ergibt sich für den Flächeninhalt $A$ des Parallelogramms (welcher gleich dem Flächeninhalt des Kreises ist):

$A=a\cdot h=\frac{p}{2}\cdot r,$

denn — wie oben begründet — nährt sich dieses für $n\to\infty$ immer mehr einem Rechteck der Höhe $h=r$ und Grundseite der Länge $a=p/2$ an. Daraus folgt die Formel für die Kreisfläche:

$A=\frac{p r}{2}.$

Dieses Ergebnis kann man jetzt mit dem von dem Exponat [„Was ist Pi?“] zusammenbringen. Dort erfährt man nämlich, dass

$\pi=\frac{p}{d}=\frac{p}{2r}.$

Hierbei ist $d=2r$ der Durchmesser des gegebenen Kreises. Insgesamt ergibt sich also für den Flächeninhalt des Kreises vom Radius $r$ :

$A=\frac{p r}{2}=\frac{p}{2r}\cdot r^2=\pi r^2$

was der bekannten Formel für die Kreisfläche entspricht.