Durchkrabbelknoten

Beim „Durchkrabbelknoten“ sind deine akrobatischen Fähigkeiten gefragt. Indem du durch die Metallkonstruktion hindurch krabbelst, folgst du mit deinem Körper einer Knotenlinie. Es handelt sich dabei um die sogenannte linkshändige Kleeblattschlinge. Vermutlich kennen viele diesen Knoten nur als Überhandknoten. Es ist nämlich derjenige Knoten, den wir häufig beim Schnürsenkel zubinden nutzen. In der Mathematik besitzen Knoten, die wir aus dem Alltag, Beruf oder Hobby kennen, oftmals einen anderen Namen.

Intuitiv denkt man bei einem Knoten (oder auch Stich und Stek) an einen Strick oder ein Band, das man in einer bestimmten Technik ineinander verschlingt und an beiden Enden festzieht. Dabei gibt es unglaublich viele verschiedene Knotentechniken. So lernt man beim Segeln zu Beginn die Seemannsknoten, wie den Achterknoten oder den Palstek, oder beim Klettern verschiedene Knoten zur Sicherung. Bei der Feuerwehr ist der Ankerstich nicht wegzudenken. Im Wesentlichen nutzt man Knoten zur Sicherung, Befestigung, Verbindung, oder als Schlinge. Jeder Knoten hat dabei seine eigene Funktionalität und sein eigenes Anwendungsgebiet und dadurch auch seine eigene Form. Wer schon einmal einen Achterknoten gebunden hat, der weiß, dass sich dieser fundamental von einem Schotstek unterscheidet. Man kann aber durchaus in wenigen Schritten aus einem Achterknoten einen Überhandknoten binden.

In der Mathematik untersucht man genau dies: Welche Knoten kann man durch endlich viele Schritte ineinander überführen. Es geht also eher weniger um die Funktionalität und das Einsatzgebiet der Knoten. Da man trivialerweise jeden Knoten in einem Strick lösen und wieder einen neuen binden kann, interessiert man sich in der Mathematik nur für solche „Stricke“, bei denen die beiden Enden zusammengeklebt sind. Da außerdem ein Strick ein physisches und kein mathematisches Objekt ist, benötigen wir erst einmal die mathematische Definition eines Knotens und was es heißt, dass zwei Knoten gleich sind bzw. ineinander umgewandelt werden können.

Und nun … die Mathematik

Mathematiker:innen beschäftigen sich schon seit dem 19. Jahrhundert mit Knoten. Dabei hat sich die folgende Definition etabliert: Ein Knoten ist eine Teilmenge $K \subseteq \mathbb{R}^3$ des dreidimensionalen euklidischen Raums die homöomorph zur Kreislinie

$\begin{align*}C \coloneqq \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1\}\end{align*}$

ist. Intuitiv kannst du dir dies so vorstellen: Falls du den Knoten durch Dehnen, Stauchen und Verbiegen so bewegen kannst, dass, wenn du von „oben“ darauf schaust, er eine Kreisform besitzt, dann ist es ein Knoten im mathematischen Sinne.

In der Mathematik drückt man das auch so aus. Es existiert eine bijektive Abbildung $\varphi \colon C \to \mathbb{R}^3$ , sodass

$\operatorname{im} \varphi \coloneqq \{\varphi(x) \mid x \in C\} = K$ ,
$\varphi$ und $\varphi^{-1}$ sind stetig.

Eigenschaften von Knoten

Knoten können durch eine Vielzahl von Eigenschaften Klassifiziert werden. Zum Anfang sei bemerkt, dass jeder Knoten $K$ durch eine Parametrisierung $\gamma \colon [0,a] \to \mathbb{R}^3$ für $a \in \mathbb{R}$ beschrieben werden kann. Hierbei nehmen wir aus technischen Gründen vereinfachend an, dass jede Parametrisierung eines Knotens stetig differenzierbar ist. Es sei bemerkt, dass jede Parametriserung eine Orientierung des Knotens vorgibt. Die linkshändige Kleeblattschlinge (siehe Abbildung 2) kann z.B. entgegen des Urzeigersinns parametrisiert werden durch

$\begin{align*}\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}(2 + \cos 3t) \cos 2t \\(2 + \cos 3t) \sin 2t \\\sin 3t\end{pmatrix},&& t \in [0,2\pi].\end{align*}$

Schließlich definieren wir das \emph{Spiegelbild} eines Knotens $K$ als die Menge $R[K]$ , wobei die Abbildung $R \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ gegeben ist durch

$\begin{align*}\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x \\ y \\ -z\end{pmatrix}.\end{align*}$

Das Spiegelbild der linkshändigen Kleeblattschlinge ist z.B. die rechtshändige Kleeblattschlinge.

Ein Knoten kann aber niemals eindeutig durch ein Knotendiagramm dargestellt werden. Tatsächlich existieren für jeden Knoten unendlich viele Knotendiagramme. Genauer konnte 1927 von Kurt Reidemeister gezeigt werden, dass zwei Knotendiagramme denselben Knoten repräsentieren, wenn sie durch drei Arten von Bewegungen ineinander umwandelbar sind. Zu diesen sogenannten Reidemeister Bewegungen gehören

Verdrehung und Entdrehung beider Richtungen,
Schieben eines Stranges über einen anderen,
Bewegen eines Strangs über oder unter eine Kreuzung.

Oftmals visualisiert man einen Knoten nicht im $\mathbb{R}^3$ , sondern betrachtet seine Projektion auf die Ebene. Zu diesem Zwecke definieren wir die Abbildung $P \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ mittels

$\begin{align*}\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x \\ y \\ 0\end{pmatrix}.\end{align*}$

Wir sagen, dass ein Punkt $p \in P[K]$ ein Überschneidungspunkt des Knotens $K$ ist, falls das Urbild $P^{-1}p$ mehr als ein Element aus $K$ enthält. Wir wollen hier nur Knoten betrachten, bei denen $P^{-1} p$ für jeden Überschneidungspunkt $p \in P[K]$ aus genau zwei Elementen besteht. Wir nennen dabei den Punkt auf $K$ mit der größeren $z$ -Koordinate Überkreuzung und den anderen zugehörigen Unterkreuzung. Um aus der Projektion wieder den ursprünglichen Knoten rekonstruieren zu können, muss an den Überschneidungspunkten klar sein, in welcher Reihenfolge die Stränge übereinander liegen. In Abbildungen wird dies oft durch eine Unterbrechung der Unterkreuzungspunkte visualisiert (siehe Abbildung 2). Solche Darstellungen nennt man auch Knotendiagramme.

Falls der Knoten eine Orientierung besitzt, dann kann den Überschneidungspunkten eine Händigkeit zugeordnet werden.

In Abbildung 4 ist der erste Überschneidungpunkt rechtshändig und besitzt das Vorzeichen $+1$ und der zweite ist linkshändig und besitzt das Vorzeichen $-1$ . Der Grund, warum man den Knoten in Abbildung 2 linkshändige Kleeblattschlinge nennt, ist dass er genau drei linkshändige Überschneidungspunkte besitzt. Sein Spiegelbild, die rechtshändige Kleeblattschlinge, besteht dabei aus drei rechtshändigen Überschneidungspunkten.

Äquivalenz von Knoten

Der wesentliche Unterschied der mathematischen Auffassung eines Knotens zu unserer alltäglichen ist also insbesondere, dass ein Knoten in der Mathematik eine geschlossene Kurve ist. Stelle dir als Analogie dazu ein Gummiring vor. Das Äquivalent in der mathematischen Sichtweise entspräche dem trivialen Knoten bzw. dem \emph{Unknoten}, der Kreislinie. Falls du den Gummiring aufschneidest, könnte man darin z.B. einen Überhandknoten binden. Verbindest du nun wieder die Endstücke des Bandes, sodass der Gummiring wieder geschlossenen ist, dann entspräche dies genau der Kleeblattschlinge.

Das Beispiel verdeutlicht die Problematik bei der Frage, welche Knoten gleich sind. Falls man jeden Knoten $K \subseteq \mathbb{R}^3$ , einfach „aufschneiden“ würde, dann lässt sich durch öffnen und binden jeder beliebige andere Knoten erzeugen. Mit diesem Ansatz wären alle Knoten gleich. Mathematisch ist dies aber sehr uninteressant. Deshalb verbietet man solche Operationen bei der Identifizierung und sagt, dass zwei Knoten $K_1$ und $K_2$ gleich sind, falls sie sich durch Deformierung ineinander umformen lassen. Genauer bezeichnet man $K_1$ und $K_2$ als \emph{äquivalent}, falls ein orientierungserhaltender Homöomorphismus $h \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ existiert, sodass $h[K_1] = K_2$ . Falls zwei Knoten äquivalent sind sagt man auch, dass sie vom selben Typ sind bzw. dass sie demselben Knotentypen angehören. Ein Knoten ist dabei chiral, falls er nicht äquivalent zu seinem Spiegelbild ist. Das einfachste Beispiel eines chiralen Knotens ist die linkshändige Kleeblattschlinge, denn ihr Spiegelbild ist wie oben bemerkt die rechsthändige Kleeblattschlinge.

Oftmals ist es in der Praxis schwierig, mit dieser Definition die Äquivalenz zweier Knoten nachzuweisen. Es existieren zwar Algorithmen, die das sogenannte Erkennungsproblem lösen können, jedoch benötigen diese bei komplexeren Knoten eine sehr lange Zeit, bis eine Entscheidung getroffen ist. Was man meist leichter nachweisen kann, ist, ob zwei Knoten nicht dem selben Knotentypen angehören. Dafür nutzt man Knoteninvarianten, die wir im folgenden Abschnitt näher beschreiben wollen.

Knoteninvarianten

Eine Invariante ist eine universelle Eigenschaft von Knoten, die bei zwei zueinander äquivalenten Knoten gleich bleibt. Falls also $K_1$ und $K_2$ äquivalente Knoten sind, dann bezeichnen wir eine Abbildung $\iota$ , die einem Knoten z.B. eine reelle Zahl zuordnet, als Invariante, falls $\iota[K_1] = \iota[K_2]$ . Andersherum, falls $\iota[K_1] \neq \iota[K_2]$ , dann folgt schon, dass $K_1$ und $K_2$ nicht äquivalent sein können. Eine Invariante ist z.B. die sogenannte Knotengruppe. Sie ist definiert als die Fundamentalgruppe $\pi_1(\mathbb{R}^3 \setminus K)$ , also als diejenige Gruppe aller Homotopieklassen auf $\mathbb{R}^3 \setminus K$ . Oftmals gibt man die Knotengruppe über eine Präsentation an, also als eine Darstellung von Erzeugern und Relationen. Hierbei sind die Relationen genau die Überschneidungspunkte des Knotendiagramms. Die Fundamentalklasse der Kleeblattschlinge besitzt z.B. die Präsentation

$\langle x,y \mid x^2 = y^3 \rangle.$

Oftmals genügt es, eine Knoteninvariante nur auf Knotendiagrammen zu definieren. Stimmt nämlich eine solche Invariante bei zwei unterschiedlichen Knotendiagrammen nicht überein, dann können diese nicht durch Reidemeister Bewegungen ineinander umgewandelt werden, sprich sie repräsentieren jeweils einen anderen Knoten. Es gibt dabei viele verschiedene Arten von Invarianten.

Kreuzungszahl. Eine offensichtliche Invariante ist die minimale Anzahl von Überschneidungspunkten im Knotendiagramm, die durch Reidemeister Bewegungen erreichbar ist. Haben nämlich zwei Knoten eine verschiedene Kreuzungszahl, dann müssen sie schon einen anderen Knoten repräsentieren. Bei der Kleeblattschlinge beträgt die Kreuzungszahl genau $3$ . Überlege dir, warum jeder Knoten mit der Kreuzungszahl 1 und 2 schon der triviale Knoten sein muss.

Windungszahl. Eine weitere Invariante von Knoten ist die Summe der Vorzeichen aller Überschneidungspunkte. So besitzt die linkshändige Kleeblattschlinge die Windungszahl -3 und ihr rechtshändiges Pendant die Windungszahl +3. Im speziellen ist jeder Knoten mit Windungszahl kleiner als $\pm 3$ äquivalent zum Unknoten.

Chiralität. Ein chiraler Knoten kann nicht äquivalent zu einem Knoten sein, der auch äquivalent zu seinem Spiegelbild ist.

Literatur

Lickorish, W. B. Raymond: An Introduction to Knot Theory, Springer, 1963
Adams, Colin Conrad Adams, Colin Conrad: The knot book an elementary introduction to the mathematical theory of knots, American Mathematical Society, 2004