Taklamakan

Da steht man auf einem Aussichtspunkt, schaut hinunter ins Tal und fragt sich vielleicht: Wie steil war eigentlich der Weg hier rauf? Oder: Warum fließt der Bach genau da entlang und nicht woanders? Wer eine Wanderkarte zur Hand hat, sieht dort kurvige Linien, die sich über die Landschaft ziehen: sogenannte Höhenlinien. Je enger sie beieinanderliegen, desto steiler ist das Gelände. Aber wie entstehen diese Linien eigentlich und was sagen sie wirklich über die Landschaft aus?

Und nun … die Mathematik

Um eine Landschaft mathematisch zu modellieren, beschreibt man sie als Funktion

$f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \quad (x, y) \mapsto f(x, y),$

die jedem Punkt $(x, y)$ aus einem Koordinatensystem eine Höhe $f(x, y)$ zuordnet. Es handelt sich also um eine \emph{Funktion mit zwei Variablen}. Nun kann man die sogenannte Niveaumenge definieren, welche aus allen Punkten besteht, an denen die Funktion denselben Wert (Höhe) $c$ annimmt:

$\mathcal{N}_f(c) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid f(x,y) = c\}.$

Das sind in unserem Fall Kurven, die du auf der Landkarte als Höhenlinien kennst. Wandert man entlang einer Höhenlinie, ändert sich die Höhe nicht: Der Funktionswert bleibt hier konstant. Auf Karten werden Höhenlinien in gleichen Höhenabständen gezeichnet, die sogenannte Äquidistanz. Wo die Linien dichter liegen, ist die Steigung größer, wo sie weiter auseinanderliegen, eher flach.

Um weitere Eigenschaften der Funktion untersuchen zu können, müssen wir noch annehmen, dass sie „glatt“ ist, also keine Sprünge oder Knicke hat. Dafür fordert man, dass sie differenzierbar ist. Differenzierbarkeit bedeutet, dass es an jedem Punkt eine Tangentialebene gibt, die das Verhalten der Funktion in der Umgebung gut beschreibt. In der eindimensionalen Welt ist das die Tangente, in zwei Dimensionen eben eine Ebene. Wenn die Funktion $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ differenzierbar ist, dann kann man bestimmen, wie stark sie in eine Richtung fällt oder steigt. Mit anderen Worten: wie stark die Äquidistanten Höhenlinien auseinanderliegen.

Nun kommt der zentrale Unterschied zum eindimensionalen Fall: Während man im eindimensionalen das Verhalten der Funktion jeweils nur von zwei Seiten aus betrachten kann, gibt es in der Ebene unendlich viele Richtungen (siehe auch Abbildung 2). Deshalb interessiert uns: Wie stark ändert sich $f$ in einer bestimmten Richtung? Und wie kann man eine globale Änderungsrate bestimmen? Das führt uns zu den folgenden Ableitungsbegriffen.

Richtungsableitung

Die Richtungsableitung von $f$ in Richtung eines Einheitsvektors $\mathbf{v} = (v_1, v_2)$ an der Stelle $(x, y)$ ist definiert als

$D_{\mathbf{v}} f(x, y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h v_1, y + h v_2) - f(x, y)}{h}.$

Sie misst, wie stark die Funktion $f$ sich verändert, wenn man sich vom Punkt $(x, y)$ in Richtung $\mathbf{v}$ bewegt.

Partielle Ableitung

Die Partielle Ableitung ist eine Richtungsableitung bezüglich der Einheitsvektoren $e_1 = (1,0)^\top$ und $e_2 = (0,1)^\top$ , sprich

$\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \coloneqq D_{(1,0)} f(x, y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \coloneqq D_{(0,1)} f(x, y). \end{align*}$

Sie beschreibt damit die Änderungsrate in Richtung der Einheitsvektoren.

Gradient

Der Gradient von $f$ ist der Vektor der partiellen Ableitungen

$\nabla f(x, y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \end{pmatrix}.$

Er zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion $f$ und sein Betrag entspricht genau dieser maximalen Steigung.

Übrigens lässt sich die Richtungsableitung bezüglich eines Vektors $\mathbf{v} = (v_1,v_2)^\top$ auch mittels des Gradienten schreiben als

$D_{\mathbf{v}} f(x, y) = \nabla f(x, y) \cdot \mathbf{v} = \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) v_1 + \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) v_2.$

Das bedeutet, wenn die partiellen Ableitungen der Funktion $f$ existieren, kann man sie schon in jede beliebige andere Richtung differenzieren.

Die Mathematik im Exponat

Im Exponat Taklamakan formst du mit deinen Händen eine Landschaft: Berge, Täler, Hügel. Die Oberfläche wird dabei in Echtzeit gescannt und als Funktion $f(x, y)$ interpretiert. Dabei werden auch gleichzeitig die Höhenlinien der Funktion erkannt und eingezeichnet. Du kannst selbst die verschiedenen Steigungen erkennen. Wenn du deine Hand mit gespreizten Fingern darüber hältst, beginnt es zu regnen und das Wasser beginnt zu fließen. Dabei fließt es stets bergab, und zwar entlang der steilsten Richtung.

Genau das ist die Richtung des Gradienten! Das Wasser „spürt“ also die maximale Steigung an jedem Punkt und wählt instinktiv den Weg, den auch der Gradient vorgibt.

Was in der Natur passiert, lässt sich also mathematisch exakt beschreiben, und in der Sandbox sogar beobachten. So verbindet das Exponat intuitives Erleben mit präziser Mathematik und lädt dich ein, mit eigenen Händen eine Welt zu formen, die sich an mathematischen Gesetzen orientiert.