Whitney’s Spieluhr

Stell dir vor: Du siehst nachts in den Himmel und beobachtest, wie verschieden große Leuchtpunkte sich um einen gemeinsamen Mittelpunkt drehen –
wie Sterne, die einer eigenen, unsichtbaren Bahn folgen. Jeder Punkt leuchtet anders beim Überqueren einer gedachten Linie, und je größer der Punkt, desto langsamer dreht er sich. Das wirkt magisch: ruhige, langsame Kreise außen, schnellere Bewegung innen – und gleichzeitig ein Klang jedes Mal, wenn ein Punkt eine bestimmte Position passiert.

Genauso funktioniert „Whitney’s Spieluhr“: 48 Punkte drehen sich um einen gemeinsamen Mittelpunkt. Jeder Punkt erzeugt einen Ton, wenn er eine horizontale Linie kreuzt. Und: Der größte Punkt benötigt drei Minuten für eine Umdrehung, der nächstgrößere halb so lange, der dritte ein Drittel so lange und so weiter. Dadurch entsteht ein Klangmuster, das sich ständig verändert, ein musikalisches Spiel aus Rhythmus und Harmonie.

Und nun … die Mathematik

Wir betrachten 48 Punkte ( $P_1, P_2, \dots, P_{48}$ ), geordnet nach ihrer Größe:
$P_1$ ist der größte, $P_2$ der zweitgrößte, \dots, $P_{48}$ der kleinste. Für diese gilt:

Der größte Punkt $P_1$ braucht $T_1 = 3$ Minuten für eine vollständige Umdrehung (360 $^\circ$ ).
Im Allgemeinen: Punkt $P_k$ dreht sich $k$ -mal schneller als der größte und hat eine Umlaufzeit
$T_k = \frac{T_1}{k} = \frac{3\ \text{Minuten}}{k}.$

Dadurch ergeben sich z.B. die folgenden Umlaufzeiten:

$\begin{align*} T_2 &= \tfrac{3}{2} \text{ Minuten} = 1{,}5 \text{ Minuten}, \\ T_3 &= 1 \text{ Minute}, \\ T_{48} &= \frac{3}{48} = 0{,}0625 \text{ Minuten} = 3{,}75 \text{ Sekunden}. \end{align*}$

Position und Schnitt mit einer Linie

Betrachte eine feste horizontale Linie durch den Mittelpunkt.
Jeder Punkt $P_k$ durchläuft bei jedem vollständigen Umlauf genau einmal diese Linie (oder zweimal, je nach Zählweise). Ein Klang entsteht, wenn der Winkel $\theta_k(t)$ die Position der Linie erreicht.

Die Winkelposition zur Zeit $t$ ist

$\theta_k(t) = \omega_k \, t + \theta_{0},$

wobei

$\omega_k = \frac{2\pi}{T_k}$

die Winkelgeschwindigkeit ist und $\theta_{0}$ der Startwinkel.

Klangmuster: Rhythmus und Interferenz

Jeder einzelne Punkt erzeugt für sich genommen periodisch einen Ton in seinem eigenen Rhythmus: große Punkte klingen dabei langsam, kleine Punkte schnell. Werden alle Punkte zusammen betrachtet, entsteht eine komplexe Überlagerung dieser Töne. Manche von ihnen fallen genau zusammen und verstärken sich gegenseitig, andere treten leicht versetzt auf. So ergeben sich vielfältige Klangbilder, die mal harmonisch und regelmäßig wirken, mal unruhig und chaotisch.

Besonderheiten und mathematische Implikationen

Aus mathematischer Sicht spielen dabei drei Aspekte eine besondere Rolle. Erstens die Periodizität und Synchronisation: Zwei Punkte $P_k$ und $P_m$ haben gemeinsame Durchgänge immer dann, wenn

$t = n \cdot \mathrm{lcm}(T_k, T_m), \quad n \in \mathbb{N}.$

Das bedeutet, ihre Töne fallen genau zu diesen Zeitpunkten zusammen. Zweitens lassen sich die entstehenden Klangmuster durch ihre
\textbf{spektralen Eigenschaften} untersuchen. Da jeder Durchgang einen Ton auslöst, kann man sowohl in der Zeitdomäne, also durch die Frage „wann erklingt welcher Ton?“, als auch in der Frequenzdomäne, „wie oft erklingt welcher Ton pro Zeiteinheit?“, eine Analyse durchführen.

Schließlich zeigt sich ein interessantes Grenzverhalten: Für sehr große Werte von $k$ wird die zugehörige Periode $T_k$ extrem klein. Die Klänge folgen dann so dicht aufeinander, dass das menschliche Ohr sie nicht mehr einzeln unterscheiden kann. Statt klaren Rhythmen nimmt man ein kontinuierliches, rauschendes Klangband wahr.