Geschenke für ein ganzes Jahr

Zwölf Tage Weihnachten – für viele klingt das wie ein Traum: Statt nur an Heiligabend oder am ersten Feiertag gibt es an jedem Tag neue Geschenke. In einem bekannten englischen Weihnachtslied namens The Twelve Days of Christmas wird genau das besungen, mit einem immer größer werdenden Geschenkeregen.

Der Refrain beginnt stets mit den Zeilen:

On the first day of Christmas my true love sent to me:
A partridge in a pear tree.

Am zweiten Tag geht es weiter:

On the second day of Christmas my true love sent to me:
Two turtle doves, and a partridge in a pear tree.

Und so wächst der Geschenkestapel Tag für Tag: drei französische Hühner, vier rufende Vögel, fünf goldene Ringe … Und jedes Mal kommen auch die Geschenke der Vortage wieder dazu.

Aber wie viele Geschenke sind es eigentlich insgesamt?

Und nun … die Mathematik

Mathematisch gesehen steckt in diesem Lied ein wunderbares Beispiel für eine Summe. Am ersten Tag bekommt man 1 Geschenk. Am zweiten Tag: 2 neue plus ein 1 altes, also insgesamt 3. Am dritten Tag sind es dann

$3 + 2 + 1 = 6,$

und am vierten Tag

$4 + 3 + 2 + 1 = 10,$

und so weiter, bis zum zwölften Tag.

Die Anzahl der Geschenke an einem bestimmten Tag $n$ lässt sich mit der bekannten Formel für die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen (siehe auch das Exponat „Beweis ohne Worte: Summe der ersten $n$ Zahlen“) berechnen:

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}.$

Am zwölften Tag sind das also:

$\frac{12 \cdot 13}{2} = 78$

Geschenke. Doch wie viele Geschenke bekommt man über alle zwölf Tage? Auch das ergibt sich über eine Summenformel:

$\sum_{n=1}^{12} \left( \sum_{k=1}^{n} k \right) = \sum_{n=1}^{12} \frac{n(n+1)}{2} = 1 + 3 + \dots + 78 = 364.$

Das Exponat hilft, diese Zahl spielerisch zu entdecken: Für jeden der zwölf Tage gibt es ein Puzzle-Teil in Form eines Stufendreiecks. Die Anzahl der Felder jedes Teils entspricht der Anzahl der Geschenke dieses Tages. Legt man alle 12 Teile zusammen auf das gelbe Rechenfeld mit $18 \times 22 = 396$ Feldern, zeigt sich die Gesamtanzahl: 364 Geschenke. Beinahe eines für jeden Tag im Jahr.

Fazit: Selbst in Weihnachtsliedern steckt Mathematik. Man muss nur genau hinhören und mitrechnen!

Quellen

[1] https://de.wikipedia.org/wiki/The_Twelve_Days_of_Christmas