Mayblox

Fast jeder hat schon einmal einen Rubik’s Cube, den berühmten Zauberwürfel, in der Hand gehabt. Man dreht und wendet ihn, und plötzlich sind die bunten Flächen durcheinandergewirbelt. Die Herausforderung besteht darin, ihn wieder so zu ordnen, dass jede Seite einheitlich gefärbt ist.

Der Zauberwürfel zeigt eindrucksvoll, wie stark Farben und Symmetrien miteinander verwoben sind. Genau in diesem Spannungsfeld bewegt sich auch das Exponat „Mayblox“ – nur einfacher und anschaulicher. Hier geht es darum, einen bunten Würfel in doppelter Größe nachzubauen: Man legt den kleinen Würfel auf die Glasfläche und soll ihn auf der großen Fläche aus acht Teilwürfeln zusammensetzen. Aber Achtung: Nur Flächen gleicher Farbe dürfen aneinanderstoßen.

Was zunächst wie ein Spiel mit Bauklötzen wirkt, führt uns mitten hinein in die Mathematik der Symmetrien und Färbungen.

Und nun … die Mathematik

Ein Würfel besteht aus 6 Flächen, 12 Kanten und 8 Ecken. Jede Fläche kann mit einer von $k$ Farben bemalt werden. Naiv gedacht gäbe es dafür

$k^6$

Möglichkeiten.

Doch viele dieser Einfärbungen sind im Grunde identisch, weil man den Würfel drehen kann. Die eigentliche Frage lautet also: Wie viele verschiedene Färbungen gibt es, wenn man Drehungen nicht unterscheidet?

Symmetrien des Würfels

Die Rotationssymmetrien eines Würfels bilden eine Gruppe mit $24$ Elementen. Diese Drehungen teilen sich wie folgt auf:

1 Identität (keine Drehung),
9 Drehungen um Flächenachsen (je 90 $^\circ$ , 180 $^\circ$ , 270 $^\circ$ ),
6 Drehungen um Kantenachsen (je 180 $^\circ$ ),
8 Drehungen um Eckachsen (je 120 $^\circ$ oder 240 $^\circ$ ).

Diese Symmetriegruppe sorgt dafür, dass viele Färbungen „zusammenfallen“.

Polya’sches Zählllemma

Das Polya’sche Zählllemma gilt, wenn eine endliche Menge von Objekten (hier: die 6 Flächen des Würfels) mit $k$ Farben gefärbt wird, eine endliche Symmetriegruppe $G$ darauf wirkt (hier: die 24 Drehungen des Würfels), und zwei Färbungen genau dann als gleich gelten, wenn sie durch ein Element von $G$ ineinander überführt werden können. Genauer gilt

$N = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} k^{c(g)},$

wobei

$|G| = 24$ die Anzahl der Drehungen ist,
$c(g)$ die Anzahl der Zyklen der Flächen unter der Drehung $g$ ist.

Jeder Summand $k^{c(g)}$ beschreibt die Zahl der Färbungen, die unter der jeweiligen Drehung $g$ unverändert bleiben. Das Mittel über alle Symmetrien liefert dann die Anzahl der tatsächlich verschiedenen Färbungen $N$ .

Zyklenzählung für den Würfel

Für jede Drehung muss bestimmt werden, wie die 6 Flächen aufeinander abgebildet werden. Entscheidend ist die Anzahl der Zyklen, also wie viele Gruppen von Flächen gemeinsam bewegt werden:

Identität (1 Drehung):} Alle 6 Flächen bleiben fix.
$c = 6 \quad \Rightarrow \quad \text{Beitrag: } k^6.$
\90 $^\circ$ /270 $^\circ$ -Drehung um eine Flächenachse (6 Drehungen): Zwei Flächen auf der Drehachse bleiben fix, die übrigen vier rotieren zyklisch.
$c = 2 + 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad \text{Beitrag: } k^3.$
180 $^\circ$ -Drehung um eine Flächenachse (3 Drehungen): Zwei Flächen bleiben fix, die übrigen vier bilden zwei Paare.
$c = 2 + 2 = 4 \quad \Rightarrow \quad \text{Beitrag: } k^4.$
180 $^\circ$ -Drehung um eine Kantenachse (6 Drehungen): Keine Fläche bleibt fix, die sechs Flächen bilden drei Paare.
$c = 3 \quad \Rightarrow \quad \text{Beitrag: } k^3.$
120 $^\circ$ /240 $^\circ$ -Drehung um eine Eckachse (8 Drehungen): Die sechs Flächen teilen sich in zwei Dreierzyklen.
$c = 2 \quad \Rightarrow \quad \text{Beitrag: } k^2.$

Jede Drehung liefert somit eine bestimmte Zyklenstruktur – genau diese Strukturen bestimmen die Summanden im Polya-Lemma. Damit ergibt sich:

$N = \frac{1}{24} \left( 1 \cdot k^6 + 6 \cdot k^3 + 3 \cdot k^4 + 6 \cdot k^3 + 8 \cdot k^2 \right) = \frac{1}{24}\left( k^6 + 3k^4 + 12k^3 + 8k^2 \right).$

Im Exponat sind die Würfel so gestaltet, dass jede der sechs Flächen eine andere der sechs Farben trägt. Wir setzen also $k = 6$ in die allgemeine Formel ein:

$N = \frac{1}{24}\left( 6^6 + 3 \cdot 6^4 + 12 \cdot 6^3 + 8 \cdot 6^2 \right) = 2226.$

Es gibt also genau 2226 verschiedene Würfel, die man mit sechs Farben einfärben kann, wenn man Drehungen nicht unterscheidet.

Das Exponat zeigt damit auf spielerische Weise, wie reichhaltig schon ein einzelner Würfel mathematisch sein kann. Aus einem Würfel werden beim Nachbau acht, und nur wenn die Farben konsistent zusammengesetzt sind, entsteht ein stimmiges Ganzes. So erleben wir im Kleinen die große Welt der Kombinatorik und Symmetrien: Mayblox ist Bauklotzspiel, Knobelaufgabe und Mathematik zum Anfassen zugleich – mit denselben Ideen, die auch den Zauberwürfel so faszinierend machen.