Mirage

Das Exponat „Mirage“ zeigt eine interessante optische Täuschung: Ein Kristall liegt wie auf einem Präsentierteller vor einem Beobachter. Aber greift man nach ihm, so greift man schlicht — ins Leere. Wie ist das möglich? Im nachfolgenden Text wollen wir ein wenig näher darauf eingehen, was der mathematische Hintergrund hinter dieser Täuschung ist.

Das Exponat benutzt zwei Parabolspiegel, die den seltsamen Effekt erzeugen. Solche Spiegel kommen zum Beispiel auch in Spiegelteleskopen und bei der Satellitenkommunikation zum Einsatz.

Und nun … die Mathematik dazu:

Was ist ein Parabolspiegel und warum ist er so nützlich? Um dies zu verstehen, müssen wir erst einmal die Parabel näher unter die Lupe nehmen: Die Standardparabel, die aus dem Schulunterricht bekannt ist, wird durch die Gleichung $y(x) = x^2$ beschrieben. Wir wollen nun die Eigenschaften dieser Kurve näher untersuchen. Falle dazu ein Lichtstrahl $\mathbf{s}_x$ ( $x\in\mathbb R$ ) von oben ein; dieser kann beschrieben werden durch die Gleichung

$\mathbf{s}_x(t)=\begin{pmatrix} x\\ -t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ 0\end{pmatrix}-t\mathbf{e}_2.$

Hierbei ist $t\in\mathbb R$ ein reeller Parameter. Im Punkte $A=(x,x^2)$ wird dieser Strahl $\mathbf{s}_x$ nun reflektiert. In diesem Punkt hat die Tangente den normierten Richtungsvektor $\mathbf{t}=\frac{1}{\sqrt{1+4x^2}}(1,2x)$ . Damit ist der Normalenvektor gleich $\mathbf{n}=\frac{1}{\sqrt{1+4x^2}}(-2x,1)$ . Wir erhalten also für den Richtungsvektor des ausfallenden Strahles $\mathbf{s}_x'$ :

$v=-\mathbf{e}_2+2\langle\mathbf{e}_2,\mathbf{n}\rangle\mathbf{n}=\frac{1}{1+4x^2}\begin{pmatrix} -4x\\ 1-4x^2\end{pmatrix}.$

Hierbei ist $\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle$ das Skalarprodukt der Vektoren $\mathbf{u}$ und $\mathbf{v}$ . Damit ist der ausfallende Strahl $\mathbf{s}_x'$ gegeben durch die Gleichung

$\mathbf{s}_x'(t)=\begin{pmatrix} x\\ x^2\end{pmatrix}+\frac{t}{1+4x^2}\begin{pmatrix} -4x\\ 1-4x^2\end{pmatrix}.$

Setzen wir in dieser Gleichung nun die $x$ -Koordinate auf null, so erhalten wir $t_0=\frac{1+4x^2}{4}$ . Damit ergibt sich

$F=\mathbf{s}_x'(t_0)=\begin{pmatrix} 0\\ x^2+\frac{1}{1+4x^2}\cdot\frac{1+4x^2}{4}(1-4x^2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 1/4\end{pmatrix}.$

Alle von oben einfallenden Strahlen $\mathbf{s}_x$ ( $x\in\mathbb R$ ) werden also so reflektiert, dass der zugehörige ausfallende Strahl $\mathbf{s}_x'$ durch den Brennpunkt $F$ verläuft. Außerdem können wir noch die Länge der Strecke $\overline{AF}$ berechnen:

$\lvert\overline{AF}\rvert=\left\lvert\begin{pmatrix} x\\ x^2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\ 1/4\end{pmatrix}\right\rvert=\sqrt{x^2+(x^2-1/4)^2}=\sqrt{x^4+1/2x^2+1/16}=x^2+1/4.$

Diese Strecke hat also genau dieselbe Länge wie der Abstand vom Punkt $A$ zu der Horizontalen $y=-1/4$ (der sogenannten Direktrix der gegebenen Parabel) ist.

Funktionsweise des Exponats

Das Exponat „Mirage“ macht sich die obigen beiden Eigenschaften der Parabel zunutze. Dazu rotiert man zunächst die Standardparabel um die $z$ -Achse und erhält so die Gleichung

$z=z(x,y)=x^2+y^2$

eines sogenannten Rotationsparaboloids $P$ . Dieser wird auch für Spiegelteleskope eingesetzt. Was ist nun die Idee hinter dem Exponat? Wir wollen dies nachfolgend beschreiben. Das Prinzip, das dahinter steht, kann auch zur Übertragung von anderen Wellen (z.B. Schallwellen) eingesetzt werden:

Wir nehmen zwei Parabolspiegel $P_1$ und $P_2$ . Sagen wir, der Spiegel $P_1$ sei identisch mit dem Standardrotationsparaboloid $P$ . Der Spiegel $P_2$ steht nun dem Spiegel $P_1$ in einem gewissen Abstand $d\gt 0$ gegenüber. Er wird also beschrieben durch die Gleichung $z=z(x,y)=d-(x^2+y^2)$ . Wenn man die beiden Parabolspiegel $P_1$ und $P_2$ beliebig weit fortsetzen würde (d.h. für all $x,y\in\mathbb R$ ) schnitten sie sich also in dem Kreis $K$ , der gegeben ist durch die Parametrisierung

$\mathbf{x}(\varphi)=\begin{pmatrix} R_0\cos(\varphi)\\ R_0\sin(\varphi)\\ d/2\end{pmatrix}$

für einen Winkel $\varphi\in[0,2\pi)$ mit $R_0=\sqrt{d/2}$ . Für reale Zwecke, brauchen wir die beiden Spiegel aber nur bis zu einem gewissen Radius $R\leq R_0$ fortsetzen (d.h. für $x^2+y^2\leq R^2$ ).

Seien $F_1$ bzw. $F_2$ die jeweiligen Brennpunkte von $P_1$ und $P_2$ . Dann gilt gemäß der obigen Betrachtung

$F_1=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1/4\end{pmatrix}$

und

$F_2=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ d-1/4\end{pmatrix}.$

Wir gehen nun von einem Strahl aus, der im Brennpunkt $F_1$ startet. Sagen wir, dieser sei gegeben durch die Gleichung

$\mathbf{s}(t)=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1/4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} \cos(\varphi)\\ \sin(\varphi)\\ a\end{pmatrix}.$

Hierbei misst der Parameter $a$ den Anstieg des Strahles $\mathbf{s}$ . Damit dieser auf den Spiegel $P_1$ trifft, benötigen wir einen relativ kleinen Anstieg von $a\leq\frac{R^2-1/4}{R}$ . Wird der Strahl $\mathbf{s}$ nun an $P_1$ reflektiert, verläuft der ausfallende Strahl danach — gemäß den obigen Überlegungen — parallel zur $z$ -Achse in einem Abstand $\leq R$ . Dieser an $P_1$ reflektierte Strahl wird dann wiederum von $P_2$ reflektiert, sodass der ausfallende Strahl dann (wieder wie oben) genau durch den Brennpunkt $F_2$ verläuft. Mit der gleichen Begründung wird auch ein Strahl $\mathbf{s}'$ , der in $F_2$ startet — so sein Anstieg $a'$ groß genug ist (nämlich $a'\geq-\frac{R^2-1/4}{R}$ ) — nach zwei Reflexionen in $F_1$ ankommen.

Für Anwendungen ist es noch wichtig zu wissen, wie lang die dabei zurückgelegte Strecke des obigen Strahles $\mathbf{s}$ bei seinem Weg von $F_1$ nach $F_2$ ist. Nehmen wir dazu an, dass dieser in den Punkten $Q_1$ und $Q_2$ reflektiert wird (die Gerade $Q_1Q_2$ ist also parallel zur $z$ -Achse verläuft). Weiter sei $r$ der Abstand von $Q_1$ (und damit $Q_2$ ) zur $z$ -Achse. Dann gilt, wie oben erläutert:

$\lvert\overline{F_1Q_1}\rvert=r^2+1/4=\lvert\overline{F_2Q_2}\rvert.$

Wenn wir also den Gesamtweg, den der in $F_1$ startende Strahl $\mathbf{s}$ von $F_1$ nach $F_2$ zurücklegt, berechnen, erhalten wir:

$\lvert\overline{F_1Q_1}\rvert+\lvert\overline{Q_1Q_2}\rvert+\lvert\overline{F_2Q_2}\rvert=(r^2+1/4)+(d-2r^2)+(r^2+1/4)=d+1/2.$

Diese Distanz ist also unabhängig von $r$ .

Was sind nun die Anwendungen dieser Konstruktion? Zum Beispiel kann man auf diese Weise Schallwellen (oder andere Wellen) gut über eine weite Distanz $d$ übertragen: Dazu setzt man die Schallquelle in den Punkt $F_1$ . Die von dieser Quelle ausgesandten Schallwellen werden nun an den Parabolspiegeln $P_1$ und $P_2$ so reflektiert, wie wir es gerade hergeleitet werden. Dadurch konzentrieren sie sich wieder nach einer gewissen Zeit, die der Schall zum zurücklegen der Strecke von $F_1$ über die Reflexionspunkte $Q_1$ und $Q_2$ nach $F_2$ benötigt, im Brennpunkt $F_2$ . Diese Zeit ist aber proportional zur Strecke $\lvert\overline{F_1Q_1}\rvert+\lvert\overline{Q_1Q_2}\rvert+\lvert\overline{F_2Q_2}$ , welche ja — wie oben hergeleitet — die konstante Länge $d+1/2$ hat (unabhängig vom ausgehenden Strahl). Damit findet auch keine Verzerrung statt: Das übertragene Audiosignal trifft im Punkt $F_2$ von allen Richtungen zur gleichen Zeit ein. Diese Funktionsweise wird zum Beispiel bei Satellitenschüsseln ausgenutzt.

Auch das Exponat „Mirage“ benutzt diesen Trick — allerdings anders als bei der Radiowellenübertragung. Wohingegen bei dieser die Entfernung $d$ zwischen den beiden Spiegeln besonders groß ist, ist sie bei unserem Exponat besonders klein: Setzen wir einmal $d=1/4$ (also genau auf die Brennweite). Diesmal legen wir unsere „Quelle“ nicht in den Brennpunkt $F_1$ , sondern in $F_2=(0,0,0)$ . Ebenso lassen wir die Spiegel einander berühren, d.h. $R=R_0=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ . Geht nun ein Strahl

$\mathbf{s}(t)=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} \cos(\varphi)\\ \sin(\varphi)\\ a\end{pmatrix}$

von $F_2$ aus und ist der Anstieg $a\geq-\frac{R^2-1/4}{R}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ groß genug, so wird $\mathbf{s}$ erst an $P_2$ und dann an $P_1$ reflektiert und „endet“ schließlich in $F_1=(0,0,1/4)$ . Unabhängig von Anstieg und Richtung wird dabei immer dieselbe Strecke von $3/4$ zurückgelegt. Schneidet man also in $P_2$ ein kleines kreisförmiges Loch um $F_1$ herum aus, so erscheint ein Objekt (beim Exponat: ein Kristall), das sich eigentlich im Ursprung $F_2=(0,0,0)$ befindet, dem Beobachter plötzlich so als läge es im darüberliegenden Punkt $F_1=(0,0,1/4)$ . Diesen einfachen Trick macht man sich bei dem Exponat zunutze.

An dieser Stelle sei noch bemerkt, dass sich bei zweimaligem Spiegeln auch die Orientierung zweimal umkehrt, sodass der Kristall auch nicht spiegelverkehrt erscheint.

Wenn Du noch ein schönes anschauliches Erklärungsvideo zu den obigen Thematik sehen willst, schau Dir doch das Video [1] des YouTubers Mathologer an.

Literatur

[1] https://www.youtube.com/watch?v=0UapiTAxMXE

[2] https://de.wikipedia.org/wiki/Parabel_(Mathematik)

[3] https://de.wikipedia.org/wiki/Paraboloid

[4] https://de.wikipedia.org/wiki/Parabolantenne