Pantoinversor

Kennst du diese Spiegel, in denen du plötzlich ganz lang oder winzig klein aussiehst? Oder die Selfie-Filter, die dein Gesicht verändern, ohne dass du dich selbst veränderst? Was du dort siehst, ist immer noch „du“, aber auf eine andere Art dargestellt. Solche Veränderungen findest du überall in unserem Alltag: Der Schatten auf dem Boden ist eine Abbildung deines Körpers. Der Abdruck im Sand ist eine Abbildung deines Fußes. Und wenn du ein Selfie machst? Dann ist das eine Projektion deines dreidimensionalen Gesichts auf einen zweidimensionalen Bildschirm. Abbildungen sind also mehr als nur „Kopien“. Sie zeigen uns etwas auf eine neue Weise.

Und nun … die Mathematik

In der Mathematik versteht man unter einer Abbildung (oder Funktion) eine eindeutige Zuordnung zwischen zwei Mengen: Jedem Element $x$ aus einer Definitionsmenge $D$ wird genau ein Element $f(x)$ in einer Zielmenge $Z$ zugeordnet (siehe auch das Exponat „Ich bin eine Funktion“). Man schreibt dafür auch

$f: D \rightarrow Z, \quad x \mapsto f(x).$

Abbildungen können sehr unterschiedlich wirken: Sie können Dinge verschieben, spiegeln, drehen, oder wie beim Pantoinversor: verkleinern.

Eine besondere Klasse solcher Abbildungen sind die Kontraktionen. Das sind Abbildungen, die in einem gewissen Sinne Entfernungen verringern, das heißt, sie „ziehen“ Punkte näher zusammen. Formal bedeutet das: Eine Abbildung $f: X \rightarrow X$ auf einem metrischen Raum $(X, d)$ heißt Kontraktion, wenn eine Konstante $k \in (0,1)$ existiert, sodass für alle $x, y \in X$ gilt, dass

$d(f(x), f(y)) \leq k \cdot d(x, y).$

Dabei ist $d(x, y)$ der Abstand zwischen den Punkten $x$ und $y$ , und $k$ gibt an, wie stark die Abbildung die Punkte „zusammenzieht“.

Mit genau solch einer Kontraktion hast du es beim Pantoinversor zu tun: Wenn du deine Kontur nachfährst, überträgt die mechanische Vorrichtung deine Bewegung, jedoch maßstabsgetreu verkleinert, auf das Papier. Jeder Punkt deiner Handbewegung wird einem Punkt auf dem Blatt zugeordnet, wobei die Abstände verkleinert werden. Die Abbildung lässt sich näherungsweise beschreiben durch:

( $*$ ) $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, \quad f(x) = k \cdot x \quad \text{mit } k \in (0,1).$

Hierbei bleibt die Form erhalten, aber die Größe schrumpft. Ein typisches Beispiel für eine Ähnlichkeitsabbildung.

Und nun kommt ein faszinierender Satz aus der Mathematik ins Spiel: der Banachsche Fixpunktsatz. Dieser besagt:

Jede Kontraktion auf einem vollständigen metrischen Raum besitzt genau einen Fixpunkt, also einen Punkt $x^*$ , für den gilt:

$f(x^*) = x^*.$

Auch beim Pantoinversor muss also ein solcher Fixpunkt für die Abbildung aus $(*)$ existieren. Kannst du erahnen, welcher Punkt das ist?

Auch wenn du beim Pantoinversor keine Fixpunkte direkt suchst, folgt die Vorrichtung genau solchen kontraktiven Regeln. In der Technik und Informatik wird der Fixpunktsatz vielfach genutzt, zum Beispiel bei der Lösung von Gleichungen oder bei Fraktalen wie dem Sierpinski-Dreieck, das durch wiederholte Kontraktionen erzeugt wird.

Der Pantoinversor zeigt also nicht nur, wie eine Form verkleinert wird, sondern gibt dir auch einen Einblick in ein tiefes mathematisches Prinzip: dass selbst in scheinbar einfachen Bewegungen eine elegante Struktur liegt, und dass aus Wiederholung und Reduktion Stabilität, wie ein Fixpunkt entstehen kann.