Röhren zum Hören

Vielleicht hast du schon einmal über den Rand einer Glasflasche geblasen. Dann entsteht ein tiefer Ton – und bei einer kleineren Flasche klingt er deutlich höher. Das Geheimnis steckt in der Luftsäule im Inneren: Je kürzer sie ist, desto schneller kann sie schwingen – und desto höher hören wir den Klang.

Nach genau demselben Prinzip funktioniert auch eine Orgel. Jede Pfeife ist im Grunde eine „stehende Luftsäule“. Damit die Töne rein klingen, sind viele Orgelpfeifen an beiden Enden offen – so wie die bunten Röhren hier an der Wand. Setzt du dein Ohr an eine Öffnung, hörst du den jeweiligen Grundton. Wanderst du zur nächsten Röhre, erklingt ein anderer Ton – fast so, als würdest du eine unsichtbare Orgel spielen.

Und nun … die Mathematik

In jeder Röhre schwingt die Luft und bildet stehende Wellen, ähnlich wie bei einer Gitarrensaite. Die Länge $L$ der Röhre bestimmt, welche Schwingungen hinein passen. Im Exponat hörst du dabei an jeder Röhre zunächst den Grundton $f_1$ . Doch die Luftsäule schwingt nie nur in dieser einfachsten Form: Immer klingen auch höhere Schwingungen mit – die sogenannten Obertöne $f_n$ . Sie sind leiser als der Grundton, prägen aber die Klangfarbe jeder Röhre. Darum hörst du nicht nur eine „reine“ Frequenz, sondern einen vollen Ton mit Charakter.

Die möglichen Frequenzen für eine Röhre, die an beiden Enden offen ist, lauten:

$f_n = n \cdot \frac{v}{2L}, \quad n \in \mathbb{N},$

wobei $v \approx 343 \,\text{m/s}$ die Schallgeschwindigkeit in Luft ist. Das Symbol $n$ bezeichnet die Harmonische (oder den Oberton). Jede Zahl $n$ steht für eine mögliche Schwingungsform der Luftsäule

$n=1$ : der Grundton (tiefster Ton),
$n=2$ : der erste Oberton, doppelt so hoch, eine Oktave über dem Grundton,
$n=3$ : der zweite Oberton, dreimal so hoch, eine Oktave plus eine Quinte,

und so weiter. Weil offene Röhren alle ganzzahligen Vielfachen des Grundtons zulassen, klingen sie obertonreicher als geschlossene Röhren, bei denen nur ungerade Vielfache vorkommen.

Aus der Grundton-Formel

$f_1 = \frac{v}{2L}$

wird deutlich: Je kleiner $L$ , desto größer $f_1$ . Eine höhere Frequenz hören wir als höheren Ton. Verkürzt man also die Röhre, steigt der Ton.

Halbiert man die Länge $L$ , so gilt:

$f_1' = \frac{v}{2 \cdot (L/2)} = \frac{v}{L} = 2 \cdot \frac{v}{2L} = 2 f_1.$

Die Frequenz verdoppelt sich also. Eine Verdoppelung der Frequenz entspricht genau einer Oktave. Darum klingt eine halb so lange Röhre eine Oktave höher.

In der Realität endet die Schwingung nicht exakt an der Rohröffnung, sondern ein kleines Stück darüber hinaus. Die Luft hört am offenen Ende nicht abrupt auf, sondern setzt auch die Luft außerhalb noch in Bewegung. Man kann sagen: Ein kleines Luftpolster vor der Öffnung schwingt noch mit. Dadurch ist die effektive Länge der Luftsäule größer als die gemessene Röhrenlänge. Dies wird durch die sogenannte Endkorrektur berücksichtigt:

$L_{\text{eff}} = L + 0{,}6r,$

wobei $r$ der Radius der Röhre ist. Die korrigierte Formel lautet:

$f_n = n \cdot \frac{v}{2(L+0{,}6r)}.$

Aus einfachen Längenverhältnissen wie $1:2$ entstehen Oktaven, und auch andere musikalische Intervalle lassen sich erklären. So verbinden sich Musik und Mathematik – hörbar in jeder dieser Röhren.