SigMath

Am Infopoint kannst du es dir auf gemütlichen Bänken bequem machen und in Sachbüchern und spannenden Vertiefungstexten stöbern. Ein Monitor bietet direkten Zugriff auf unsere Website mit allen weiterführenden Inhalten. Außerdem findest du einen zweiten Monitor, auf dem du das Spiel „SigMath“ starten kannst: Hier stellst du dich in verschiedenen Schwierigkeitsstufen kniffligen Fragen aus den vier großen Teilgebieten der Mathematik – Analysis, Algebra, Geometrie und Stochastik. Egal ob Buch oder Bildschirm, alles ist da, um Mathematik zu entdecken.

Und nun … die Mathematik

Analysis

Das Gebiet der Analysis entstand im 17. Jahrhundert aus der Untersuchung kontinuierlicher Bewegungen und Änderungen, etwa beim freien Fall oder der Planetenbewegung. Ihre Begründer waren Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz, die unabhängig voneinander die Infinitesimalrechnung entwickelten. Im 19. Jahrhundert wurde die Theorie durch Augustin-Louis Cauchy und Karl Weierstraß formal präzisiert.

Die Analysis untersucht vor allem Funktionen $f \colon X \supseteq D \to Y$ zwischen zwei Mengen $X$ und $Y$ , die eindeutig jedem Punkt $x \in D$ des Definitionsbereichs $D \subseteq X$ genau einen Funktionswert $f(x) \in Y$ zuordnet (siehe auch das Exponat „Ich bin eine Funktion“). Klassisch betrachtete man vor allem den Fall $X = Y = \mathbb{R}$ . Hierbei sind die folgenden Begriffe von besonderem Interesse:

Der Grenzwert einer Funktion $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ bildet das Fundament der Analysis. Er erlaubt es, Aussagen über das Verhalten einer Funktion nahe eines Punktes zu treffen. Dieser lässt sich wie folgt mathematisch definieren:
$\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon > 0\; \exists \delta > 0:\; |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon.$
Die Ableitung einer Funktion $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ an einem Punkt $x \in \mathbb{R}$ beschreibt, wie stark sich der Funktionswert bei einer kleinen Änderung des Inputs verändert. Sie beschreibt also die momentane Änderungsrate:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}.$
Das Riemann Integral kehrt den Prozess der Ableitung um. Man summiert unendlich viele kleine Flächen auf, um die Fläche unterhalb des Funktionsgraphs einer Funktion $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ berechnen zu können:
$\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i.$

In der modernen Analysis betrachtet man allgemeine Banachräume bzw. Funktionenräume wie $C^k$ , oder $L^p$ -Räume, in denen Funktionen selbst als „Punkte“ analysiert werden. Auch in diesen abstrakteren Räumen lassen sich die obigen Begriffe definieren.

Algebra

Die Anfänge der Algebra lassen sich bis ins alte Babylonien vor über 3000 Jahren zurückverfolgen. Bereits dort versuchten die Menschen Gleichungen zu lösen. Im 9. Jahrhundert systematisierte al-Khwarizmi diese Verfahren. Sein Name ist übrigens der Ursprung des Begriffs „Algorithmus“. Ab dem 19. Jahrhundert wurde die Algebra mit der Entdeckung abstrakter Strukturen durch Évariste Galois, Niels Abel und andere revolutioniert.

Die Algebra untersucht vor allem abstrakte Strukturen, bei denen Rechenoperationen bestimmten Regeln folgen. Wichtige Beispiele sind die Folgenden:

Eine Gruppe $(G, \ast)$ ist eine Menge $G$ mit einer inneren Verknüpfung $*$ , die assoziativ ist, ein neutrales Element und zu jedem Element ein Inverses besitzt:

(Assoziativgesetz) $\forall a,b,c \in G:\; a \ast (b \ast c) = (a \ast b) \ast c$ ,
(Existenz des neutralen Elements) $\exists e \in G \ \forall a \in G :\; a \ast e = e \ast a = a$ ,
(Existenz der Inversen) $\exists a^{-1} \in G:\; a \ast a^{-1} = e$ .

Ein Ring $(R, +, *)$ besteht aus einer Menge $R$ mit zwei Verknüpfungen $+$ und $*$ , die die folgenden zusätzlichen Eigenschaften besitzen:

$(R,+)$ ist eine Gruppe, die zusätzlich kommutativ ist, sprich
$\begin{align*}\forall a,b \in R \colon a + b = b + a,\end{align*}$
$(R,\ast)$ erfüllt das Assozativgesetz,
(linkes Distributivegesetz) $\forall a,b,c \in R :\; c \ast (a + b) = c \ast a + c \ast b$ ,
rechtes Distributivegesetz) $\forall a,b,c \in R :\; (a + b) \ast c = a \ast c + b \ast c$ .

Ein Körper $(K,+,\ast)$ ist ein Ring, in welchem für jedes $a \in K$ , dass verschieden von dem additiven neutralem Element ist, ein multiplikatives Inverses existiert.
Ein Vektorraum $(V,+,\cdot)$ über $\mathbb{R}$ besteht aus einer Menge $V$ zusammen mit der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation, sodass die folgenden Eigenschaften gelten:

(Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation) $\forall a \in V, v \in V :\; a v \in V$ ,
(linkes Distributivegesetz) $\forall a \in \mathbb{R}, v,w \in K :\; a (v + w) = av + aw$ ,
(rechtes Distributivegesetz) $\forall a \in \mathbb{R}, v,w \in K :\; (a + b)v = av + bv$ .

Diese Strukturen bilden das Fundament der modernen Mathematik, von Gleichungssystemen bis zur Codierungstheorie.

Geometrie

Die Geometrie ist eines der ältesten Gebiete der Mathematik. Ihre Ursprünge reichen bis ins alte Ägypten und Babylonien zurück. Die systematische Darstellung durch Euklid um 300~v. Chr. in seinem Werk Elemente prägte das Gebiet für Jahrtausende. Erst im 19.~Jahrhundert öffneten Gauß, Lobatschewski und Riemann die Tür zur nicht-euklidischen Geometrie.

In der analytischen Geometrie werden geometrische Objekte wie Punkte, Geraden und Ebenen durch Gleichungen in einem Koordinatensystem beschrieben, typischerweise im euklidischen Raum $\mathbb{R}^n$ . Wichtige Beispiele sind die Folgenden:

Eine Gerade in der Ebene $\mathbb{R}^2$ oder im Raum $\mathbb{R}^3$ lässt sich als Punkt-Vektor-Gleichung darstellen:
$\vec{x} = \vec{p} + t \vec{v}, \quad t \in \mathbb{R}$
Ein Kreis im $\mathbb{R}^2$ mit Mittelpunkt $(x_0,y_0)$ und Radius $r$ erfüllt die Gleichung
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$
it dem Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^n$ gegeben durch
$\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \sum_{i=1}^n u_i v_i$

lässt sich der Winkel $\angle(\vec{u},\vec{v})$ zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ berechnen mit

$\begin{align*} \angle(\vec{u},\vec{v}) = \arccos\biggl(\frac{\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\biggr). \end{align*}$

Die Geometrie verbindet Anschauung mit Algebra: Die Formen werden durch algebraische Strukturen wie Vektorräume beschrieben.

Stochastik

Die Stochastik entwickelte sich ab dem 17.~Jahrhundert aus der Beschäftigung mit Glücksspielen. Blaise Pascal und Pierre de Fermat gelten als dessen Pioniere. Die moderne Theorie wurde im 20.~Jahrhundert durch \textbf{Andrej Kolmogorov} mit einer axiomatischen Grundlegung gefestigt.

Die Stochastik modelliert den Begriff des Zufalls mathematisch. Die Grundlage dafür ist ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ , bestehend aus einer Menge $\Omega$ , einer $\sigma$ -Algebra $\mathcal{F}$ und eines Wahrscheinlichkeitsmaßes $\mathbb{P}$ . Die wichtigsten Begriffe sind:

Eine Zufallsvariable $X$ ist eine messbare Abbildung $X \colon \Omega \to \mathbb{R}$ , deren Verhalten sich durch ihre Verteilungsfunktion $F_X$ beschreiben lässt, welche gegeben ist durch
$\begin{align*}F_X(x) \coloneqq \mathbb{P}(X \leq x). \end{align*}$
Der Erwartungswert ist der Mittelwert aller möglichen Werte, gewichtet nach ihrer Wahrscheinlichkeit:
$E[X] = \int_\Omega X(\omega)\, dP(\omega)$
Die Varianz misst die Streuung der Zufallsvariablen um ihren Mittelwert:
$\mathrm{Var}(X) = E[(X - E[X])^2]$
Ein Stochastischer Prozess ist eine Familie von Zufallsvariablen
$X: T \times \Omega \to \mathbb{R}, \quad (t,\omega) \mapsto X(t,\omega),$

die z. B. die Entwicklung eines Systems im Laufe der Zeit beschreibt.

Die Stochastik liefert somit das mathematische Handwerkszeug, um Zufall und Unsicherheit präzise zu beschreiben – von Lotterien über Wetterprognosen bis hin zur modernen Datenanalyse.