Wörtersalat

Die Situation kennst du bestimmt. Morgens stehst du vor dem Kleiderschrank und hast eine so groß e Auswahl, dass du dich nicht entscheiden kannst, was du anziehen sollst. Zur schwarzen Hose das weiße T-Shirt und die blauen Strümpfe? Oder doch lieber zur blauen Jeans ein Hemd? Da stellt sich schnell die Frage: Wie viele verschiedene Outfits kannst du eigentlich anziehen? Dies lässt sich ganz einfach beantworten, man muss nur kombinieren. Je mehr Auswahl du hast, desto mehr Möglichkeiten gibt es, und desto schwieriger wird aber auch die Entscheidung.

Genau das ist das Prinzip der Kombinatorik: Sie hilft uns, mögliche Kombinationen und Anordnungen zu überblicken, ohne jede einzeln auflisten zu müssen.

Und nun … die Mathematik

In der Kombinatorik unterscheiden wir zwischen verschiedenen Zählprinzipien. Eine zentrale Idee ist das sogenannte Urnenmodell. Stell dir vor, du möchtest $k$ verschiedene Kugeln aus einer Urne mit insgesamt $n$ verschiedenen Kugeln ziehen. Jede Kugel besitzt dabei eine bestimmte Ausprägung, wie zum Beispiel eine Farbe oder eine Zahl. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es nun aber dabei? Bei der Berechnung müssen wir noch die folgenden Überlegungen machen:

Mit oder ohne Zurücklegen? Wenn du nach jedem Zug die Kugel zurücklegst, kann dieselbe Ausprägung mehrfach gezogen werden. Ohne Zurücklegen ist jede Kugel nur einmal dabei.
Mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge: Wenn es wichtig ist, welche Kugel zuerst kommt, zählt die Reihenfolge.

Je nachdem ergeben sich vier Grundtypen zur Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten $N(k)$ :

Variation mit Zurücklegen (Reihenfolge zählt, Wiederholung erlaubt):
$N(k) = n^k,$
Variation ohne Zurücklegen (Reihenfolge zählt, keine Wiederholung):
$N(k) = \frac{n!}{(n - k)!},$
Kombination mit Zurücklegen (Reihenfolge egal, Wiederholung erlaubt):
$N(k) = \binom{n + k - 1}{k},$
Kombination ohne Zurücklegen (Reihenfolge egal, keine Wiederholung):
$N(k) = \binom{n}{k}.$

Hierbei bezeichnet $n!$ die sogenannte Fakultät der Zahl $n$ , welche gegeben ist durch

$\begin{align*} n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdots 1 \end{align*}$

und der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ ist definiert als

$\begin{align*} \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}. \end{align*}$

Das Exponat „Wörtersalat“

Beim „Wörtersalat“ kombinierst du je ein blaues, ein rotes und ein grünes Plättchen zu einem Satz. Jede Farbe steht für eine bestimmte Wortgruppe:

Blau: Adjektive wie intelligente, eingebildete, sportliche, oder freche
Rot: Substantive wie Kinder, Tanten, Jungen, Omas, oder Lehrer*innen
Grün: Eigenschaften oder Bewertungen wie liebenswürdig, gemein, zum Haare raufen, oder geizig.

Die Satzstruktur ist fest: Blau – Rot – Grün, also zum Beispiel:

Freche Kinder sind unmöglich.
Ehrgeizige Omas sind zum Haare raufen.
Sportliche Lehrerinnen sind liebenswürdig.

Du darfst dabei jedes Plättchen mehrfach verwenden und die Reihenfolge ist vorgegeben. Mathematisch handelt es sich also um eine Variation mit Zurücklegen und fester Reihenfolge. Wie viele Sätze können wir also insgesamt bilden? Wir haben

10 blaue Plättchen,
10 rote Plättchen,
10 grüne Plättchen.

Es ergeben sich also

$\begin{align*} 10 \times 10 \times 10 = 1000 \end{align*}$

verschiedene Satzkombinationen, genau nach der Formel für Variationen mit Zurücklegen bei drei Positionen mit jeweils 10 Möglichkeiten. Was aussieht wie ein witziger Wortsalat, ist ein perfektes Beispiel für Kombinatorik in Aktion!