Würfelschnitte

Dieses Exponat steht im \varepsilonpsilon, dem Erlebnisland für Kleine.

Stell dir vor, du schneidest ein Stück Kuchen an. Je nachdem, wie du das Messer ansetzt, erhältst du ein spitzes Dreieck, ein Rechteck oder ein Trapez. Mit einer Melone passiert das Gleiche: Mal entstehen dünne Scheiben, mal große Stücke, die ganz unterschiedlich aussehen.

Genau dieses Phänomen macht sich das Exponat „Würfelschnitte“ zunutze. Ein Würfel, den wir sonst nur mit seinen Kanten und Flächen wahrnehmen, wird hier in verschiedene Scheiben zerteilt. Die einzelnen Stücke wirken zunächst merkwürdig: Manche haben dreieckige Flächen, andere viereckige oder sogar sechseckige. Auf den ersten Blick würde man kaum glauben, dass all diese Formen zusammen einmal einen ganz normalen Würfel ergeben.

Die Aufgabe im Exponat lautet deshalb: Setze die Bausteine wieder zu zwei Würfeln zusammen. Dabei wird schnell klar: Was wie ein chaotisches Durcheinander aussieht, folgt einer klaren geometrischen Ordnung.

Abbildung 1: Das Exponat

Und nun … die Mathematik

Ein Würfel ist einer der einfachsten und zugleich symmetrischsten Körper der Geometrie. Er besitzt 6 Flächen, 12 Kanten und 8 Ecken — alles Quadrate, die perfekt zueinander stehen. Doch sobald wir eine Ebene durch den Würfel legen, eröffnet sich eine überraschende Vielfalt: Die entstehende Schnittfläche kann ganz unterschiedliche Formen annehmen.

Mathematisch betrachtet ist ein Schnitt durch einen Körper die Menge aller Punkte, die gleichzeitig zur Schnittebene und zum Körper gehören. Diese Schnittfigur ist in unserem Fall ein Polygon, also eine ebene Vielecksfläche. Welche Form dieses Polygon hat, hängt allein davon ab, wie die Ebene den Würfel durchschneidet.

  • Schneiden wir parallel zu einer Würfelseite, entstehen ganz gewöhnliche Quadrate (siehe Abbildung 2).
  • Schneiden wir parallel zu einer Raumdiagonalen, ergeben sich langgestreckte Rechtecke oder Parallelogramme.
  • Schneiden wir sehr schräg, können Dreiecke oder Trapeze auftauchen.
Abbildung 2: Die quadratische Schnittfläche

Das vielleicht schönste Ergebnis entsteht, wenn man den Würfel senkrecht zur Raumdiagonalen durch den Mittelpunkt zerschneidet. Die Raumdiagonale ist die längste mögliche Strecke im Würfel. Sie verbindet zwei gegenüberliegende Ecken, die keine gemeinsame Fläche teilen. Ihre Länge beträgt

    \[d = \sqrt{3}\,a ,\]

wobei a die Seitenlänge des Würfels ist.

Legt man eine Ebene genau senkrecht auf diese Diagonale und führt den Schnitt durch den Mittelpunkt des Würfels, dann entstehen auf sechs Würfelkanten Schnittpunkte, die alle gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind. Diese sechs Punkte liegen auf einem Kreis und bilden ein regelmäßiges Sechseck (siehe Abbildung 3).

Abbildung 3: Die sechseckige Scnittfläche

Dass ausgerechnet im „innersten“ Schnitt eines Würfels eine perfekte, symmetrische Figur entsteht, ist ein schönes Beispiel für die verborgene Ordnung in der Geometrie. Doch nicht nur das Sechseck ist interessant: Jede mögliche Schnittebene liefert eine neue geometrische Figur. Diese Vielfalt an Formen, die alle im Inneren des Würfels verborgen sind, macht das Exponat so faszinierend.

Das Zusammensetzen der scheinbar unregelmäßigen Teile zu einem Würfel zeigt: Hinter der Vielfalt steckt eine strenge Struktur. Ganz gleich, welche Formen durch die Schnitte entstehen. Sie passen am Ende immer wieder perfekt zu einem der einfachsten Körper der Geometrie zusammen: dem Würfel.

Quellen

[1] https://brefeld.hier-im-netz.de/wuerfelschnitt.html