Was in den Würfel passt

Ein Würfel ist auf den ersten Blick ein sehr „eigener“ Körper: sechs gleiche Quadrate, rechtwinklig verbunden, streng geordnet. Man könnte denken, er lässt in seinem Inneren nur sich selbst gelten. Aber genau hier überrascht die Mathematik: Der Würfel ist wie eine Bühne, auf der ganz unterschiedliche Körper auftreten können. Manche passen scheinbar wie von Zauberhand perfekt hinein, wenn man sie nur richtig dreht und platziert. Das Exponat „Was alles in den Würfel passt“ lädt genau zu dieser Entdeckung ein. Die rote, die grüne und die blaue Figur wirken auf den ersten Blick fremd, und doch finden alle drei ihren Platz im Glaswürfel. Jeder Körper folgt dabei einem eigenen Trick, und gerade das macht die Sache spannend: Es geht nicht ums Hineinquetschen, sondern ums geschickte Ausrichten.

Und nun … die Mathematik

Das rote Tetraeder

Beginnen wir mit der roten Figur. Sie ist ein Tetraeder, der einfachste aller platonischen Körper: vier Flächen, alle gleichseitige Dreiecke. Dreht man das Tetraeder in die richtige Position, sitzt es perfekt im Würfel, und zwar so, dass jede Ecke des Tetraeders eine Ecke des Würfels berührt. Das bedeutet: Der Würfel enthält das Tetraeder „eingeschlossen“ in seiner Symmetrie. Hier zeigt sich ein erstes Prinzip: Der Würfel und das Tetraeder sind enger verwandt, als man meint. Ihre Symmetrien überlappen sich, und genau deshalb kann das eine im anderen Platz finden.

Der blaue Stern – zwei Tetraeder im Doppelspiel

Der große blaue Stern wirkt deutlich komplizierter. Doch auch er hat mit dem Tetraeder zu tun. Er besteht nämlich aus zwei ineinander gesteckten Tetraedern. Deswegen trägt der Körper auch den Namen Sterntetraeder. Setzt man ihn in den Würfel, füllt er das Volumen so, dass seine Spitzen bis an die Würfelkanten reichen. Das Spannende daran: Verglichen mit dem roten Tetraeder wirkt der Stern zunächst wie ein ganz anderes Gebilde, tatsächlich aber ist er „nur“ eine Kombination von zwei Tetraedern. Damit veranschaulicht er eine besondere Eigenschaft der platonischen Körper – sie können sich in Dualitäten und Überlagerungen verwandeln. Das Sternoktaeder ist ein Paradebeispiel dafür: zwei Tetraeder, die sich zu einem neuen, symmetrischen Ganzen ergänzen.

Der grüne Körper – ein Ikosaeder im Würfel

Der grüne Körper schließlich ist ein Ikosaeder, der platonische Körper mit 20 gleichseitigen Dreiecken. Doch was haben Dreiecke im Würfel verloren, der doch aus Quadraten besteht? Der Trick ist, dass im Ikosaeder auch Quadrate „versteckt“ sind – genauer gesagt: Achsen und Anordnungen, bei denen jeweils vier Ecken ein Quadrat bilden. Stellt man das Ikosaeder so in den Würfel, dass genau diese Quadrate auf den Flächen des Würfels zu liegen kommen, fügt es sich überraschend harmonisch in die Würfelform ein. Wieder gilt: Nicht das bloße Volumen entscheidet, sondern die Orientierung.

Was verbindet all diese Tricks? Es ist das Spiel mit Symmetrien. Der Würfel selbst gehört zu den platonischen Körpern – jenen fünf hochsymmetrischen Polyedern, bei denen alle Flächen gleichartig sind (siehe auch das Exponat „Polyederkrone“). Das Tetraeder und das Ikosaeder gehören ebenfalls dazu, und der Sternoktaeder lässt sich direkt aus zwei Tetraedern bilden. In der Sprache der Mathematik könnte man sagen, dass ein Körper $K$ passt genau in den Würfel $C$ passt, wenn er so orientiert werden kann, dass seine Symmetrien mit denen des Würfels übereinstimmen. In dem Fall schreibt man in der Mathematik

$K \subseteq C.$

So wird der Glaswürfel zum gemeinsamen Bezugssystem. In ihm zeigt sich, dass die verschiedenen Polyeder nicht isoliert nebeneinanderstehen, sondern durch ihre Symmetrien eng miteinander verwoben sind.

Das Exponat zeigt: Der Würfel ist nicht nur ein starres, abgeschlossenes Gebilde, sondern ein Raum voller Möglichkeiten. Er enthält das Tetraeder, er verträgt den Sternoktaeder, und sogar das Ikosaeder findet seinen Platz. Die Botschaft ist klar: Hinter den verschiedenen Körpern steckt ein gemeinsames mathematisches Ordnungsprinzip. Und wer genauer hinsieht, entdeckt, dass Mathematik voller überraschender Verwandtschaften steckt, sichtbar gemacht im Glaswürfel.